23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

Определение 1.Квадратичная форманазывается положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство

L(x₁, x₂, … , x_n)>0 (L(x₁, x₂, … , x_n)<0).

Теорема 1 (критерий определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма L=X¢AX была положительно (отрицательно) определена, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значенияl_i матрицы A были положительны (отрицательны).

Теорема 2 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма L=X¢AX была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были бы положительны, т.е.

 ,   , …,   .

Для того чтобы квадратичная форма L=X¢AX была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы A чередовались, начиная со знака «минус» для минора первого порядка, т.е.

 ,   ,   и т.д.

24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и только они.

Если из этого уравнения выразить переменную y, то получится уравнение y=f(x).

Если линии заданы уравнениями, то точкой пересечения двух линий называется любая точка, координаты x и y которой удовлетворяют уравнениям, т.е. являются решением системы двух уравнений.

Основные виды уравнений прямой на плоскости:

1) у=0 - уравнение оси Ох; y=b - уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) х=0 - уравнение оси Оу; х=а - уравнение прямой, параллельной оси Оу;

3) y=kх - уравнение прямой, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом k=tga, где a- угол наклона прямой к оси Oх;

4) y=kх+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tga, где a- угол наклона прямой с положительным направлением оси Oх.

y-y₀=k(x-x₀) - уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀) и имеющей угловой коэффициент k.

 - уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂) , если x₁¹x₂ и y₁¹y₂.

25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Определение 1.Уравнение с двумя переменными Ax + By + C = 0, где A и B не равны 0 одновременно, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Теорема 1.Любая прямая на плоскости может быть задана общим уравнением.

Если В¹0, то   , т.е. y=кх+b . При этом:

а) если А=0, то y=b;

б) если А=0 и С=0, то y=0;

в) если С=0, то y=кх .

Если В=0 и А¹0, то   , т.е. х=а - если С¹0 и х=0 - если С=0.

Теорема доказана.

Точка пересечения двух прямых A₁x + B₁y + C₁ = 0и A₂x + B₂y + C₂ = 0есть решение системы линейных уравнений

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к₁х+b₁ и y=к₂х+b₂, т.е. k₁=tga₁ и k₂=tga₂ , где a₁ и a₂ - углы наклона прямых к оси Ох.

Рассмотрим угол j=a₂-a₁ - угол между данными прямыми. Тогда, по формуле тангенса разности,   , т.е.   .

Если прямые параллельны, то j = 0 , tgj = 0.

Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. k₁= k₂ .

Если прямые перпендикулярны, то j = p/2 , ctgj = 0.

Итак, условием перпендикулярности двух прямых является равенство k₁× k₂ =-1.

Замечание.Можно показать, что если две прямые заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0и A₂x + B₂y + C₂ = 0, то:

условие параллельности прямых:   ;

условие перпендикулярности прямых: A₁A₂ + B₁B₂ = 0.