19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы а). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число l, что A(x) = l×x. Число l называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения A×X = l×X существует тогда и только тогда, когда определитель çA - l×Eç=0, где E - единичная матрица n –го порядка.

Определение 2.Определитель çA - l×Eç является многочленом n –ой степени относительно переменной l и называется характеристическим многочленомлинейного оператора A.

Определение 3.Характеристическим уравнением линейного оператора A называется уравнение çA - l×Eç=0.

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора A не зависит от выбора базиса линейного пространства.

Матрица A линейного оператора A пространства Rⁿ в себя принимает наиболее простой вид, если базис пространства состоит из собственных векторов оператора A.

Можно доказать, что в этом случае матрица A линейного оператора является диагональной и имеет вид:

 .

Верно и обратное: если матрица A линейного оператора A в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A.

20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,

21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

Определение 1. Квадратичной формой L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных x_i×x_j, взятых с некоторым действительным коэффициентом a_ij, (причем a_ij =a_ji):

 .

Определение 2. Матрицей квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется матрица, составленная из коэффициентов a_ij:

 .

Отметим, что в силу условия a_ij = a_ji, она является симметрической.

Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных.

Определение 3. Матричной записью квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется запись L=X¢AX, где X=(x₁, x₂, … , x_n)¢ - матрица столбец переменных.

Следовательно,   .

Определение 2. Рангом квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называется ранг матрицы квадратичной формы.

22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

Определение 1.Квадратичная форма L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных называетсяканонической, если все её коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. a_ij=0 при i¹j.

В этом случае квадратичная форма имеет вид   .

Доказано, что любая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

При этом её матрица приводится к диагональному виду.

Теорема 1 (закон инерции квадратичных форм). Ранг квадратичной формы не меняется при линейных преобразованиях.

Следовательно, ранг квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) от n переменных равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и совпадает с рангом соответствующей диагональной матрицы.