16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
Определение 1. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение 2. Базис линейного пространства e1, e2, ..., en называется ортогональным, если (ei, ej)=0 при всех i≠j.
Определение 3. Базис линейного пространства e1, e2, ..., en называется ортонормированным, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, то есть (ei, ej)=0 при всех i≠j и çeiç=1 при i = 1, 2, …, n.
Теорема 1. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис (без доказательства).
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
Определение 1.Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x = (x1, x2, … xn) пространства Rn ставится в соответствии единственный вектор y= (y1, y2, … ym) пространства Rm , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение), действующий из Rn в Rm и записывают y = A(x).
Определение 2.Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rn и любого числа a выполняются соотношения:
1) A(x+y) = A(x) + A(y) – свойство аддитивности оператора;
2) A(a×x) = a×A(x) – свойство однородности оператора.
Определение 3. Вектор y = A(x) называется образом вектора x, а сам вектор x - прообразом вектора y.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
Рассмотрим далее отображение линейного пространства Rn в себя. Зафиксируем базис e1, e2, ... , en этого пространства.
Связь между вектором x и его образом A(x) можно выразить в матричной форме уравнением Y= A×X, где A – матрица линейного оператора A в заданном базисе, X = (x1, x2, … xn)¢, Y = (y1, y2, … yn)¢ - матрицы-столбцы из координат векторов x и y.
Теорема 1. Каждому линейному оператору линейного пространства Rn в себя соответствует матрица в данном базисе. Обратно, всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Доказательство основано на теореме о единственности разложения вектора линейного пространства по базису и свойствах аддитивности и однородности линейного оператора.
Пусть x = x1 e1+x2 e2+ ... +xn en. Тогда A(x) = x1 A(e1) + x2 A(e2) + ... +xn A(en) = =x1(a11 e1+a21 e2+…+an1 en)+ x2(a12 e1+a22 e2+…+an2 en)+ ... +xn(a1ne1+a2n e2+…+ann en) =
= (a11 x1+a12 x2 +…+a1n xn) e1+ (a21 x1+a22 x2 +…+a2n xn) e2+ (an1 x1+an2 x2 +…+ann xn) en.
С другой стороны, y = y1 e1+ y2 e2+ ... + yn en.
Следовательно, 
Определение 1.Ранг матрицы A называется рангом оператора A.
Определение 2. Суммой двух линейных операторов A и B называется оператор (A + B), определяемый равенством (A + B)(x) = A(x) + B(x).
Определение 3. Произведением линейного оператора A на число l называется оператор lA, определяемый равенством lA(x) =l(A(x)).
Определение 4. Произведением двух линейных операторов A и B называется оператор (AB), определяемый равенством (AB)(x) = A(B(x)).
Определение 5. Нулевым оператором называется оператор, переводящий все векторы пространства Rn в нулевые векторы.
Определение 6. Тождественным оператором называется оператор E, переводящий каждый вектор в себя, то есть E(x) = x.