
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
- •2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
- •3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
- •5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
- •8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.
- •9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
- •10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
- •11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
- •12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
- •14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
- •15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
- •16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
- •17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
- •18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
- •19. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы а). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
- •20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных значений. Пример.
- •21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.
- •22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
- •23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
- •24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
- •25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
- •27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
- •28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.
Определение 1.Скалярным произведением (a, b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(a, b) = çaç×çbç×cos j .
В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Если a(x1, y1) и b(x2, y2), то (a, b) = x1×x2 + y1×y2 .
Если a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2), то (a, b) = x1×x2 + y1×y2 + z1×z2 .
Угол
между векторами вычисляется по формуле
.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
Определение 1.n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x1, x2, …, xn), где xi есть i-ая компонента вектора x.
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если xi = yi, для = 1, 2, …, n.
Определение 2.Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть zi = xi + yi для = 1, 2, … , n.
Определение 3.Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u=l×x, компоненты ui которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, то есть ui = l×xi для = 1, 2, … , n.
Определение 4. Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., am-1, если am = l1 a1+l2 a2+ ... +lm-1 am-1, где l1, l2, ... , lm-1 – некоторые действительные числа.
Определение 5.Векторы a1, a2, ..., am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l1, l2, ... , lm , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l1 a1+l2 a2+ ... +lm am равна нулевому вектору.
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.
Определение 1.Векторным (линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).
Определение 2.Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует nлинейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми
Определение 3.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.
Теорема 1. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса
x = x1 e1+ x2 e2+ ... +xn en.
Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
Определение 1.Скалярным произведением двух векторов x = (x1, x2, … xn) и y = (y1, y2, … yn) n-мерного пространства называется число
(x, y) = x1×y1 + x2×y2 + … + xn×yn .
Определение 2.Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).
Определение 3.Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата
.