Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Voprosy_dlya_samoproverki.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
172.89 Кб
Скачать

12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

Определение 1.Скалярным произведением (ab) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(ab) = çaç×çbç×cos j .

В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если a(x1y1) и b(x2y2), то (ab) = x1×x2 + y1×y2 .

Если a(x1y1z1) и b(x2y2z2), то (ab) = x1×x2 + y1×y2 + z1×z2 .

Угол между векторами вычисляется по формуле   .

13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

Определение 1.n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x1x2, …, xn), где xi есть i-ая компонента вектора x.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если xi = yi, для = 1, 2, …, n.

Определение 2.Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть zi = xi + yi для = 1, 2, … , n.

Определение 3.Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u=l×x, компоненты ui которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, то есть ui = l×xi для = 1, 2, … , n.

Определение 4. Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1a2, ..., am-1, если am = l1 a1+l2 a2+ ... +lm-1 am-1, где l1l2, ... , lm-1 – некоторые действительные числа.

Определение 5.Векторы a1a2, ..., am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l1l2, ... , lm , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l1 a1+l2 a2+ ... +lm am равна нулевому вектору.

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

Определение 1.Векторным (линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).

Определение 2.Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует nлинейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 3.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Теорема 1. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

x = x1 e1+ x2 e2+ ... +xn en.

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.

15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

Определение 1.Скалярным произведением двух векторов x = (x1x2, … xn) и y = (y1y2, … ynn-мерного пространства называется число

(xy) = x1×y1 + x2×y2 + … + xn×yn .

Определение 2.Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 3.Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]