12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

Определение 1.Скалярным произведением (a, b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(a, b) = çaç×çbç×cos j .

В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если a(x₁, y₁) и b(x₂, y₂), то (a, b) = x₁×x₂ + y₁×y₂ .

Если a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂), то (a, b) = x₁×x₂ + y₁×y₂ + z₁×z₂ .

Угол между векторами вычисляется по формуле   .

13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

Определение 1.n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x₁, x₂, …, x_n), где x_i есть i-ая компонента вектора x.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если x_i = y_i, для = 1, 2, …, n.

Определение 2.Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть z_i = x_i + y_i для = 1, 2, … , n.

Определение 3.Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u=l×x, компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, то есть u_i = l×x_i для = 1, 2, … , n.

Определение 4. Вектор a_m называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, ..., a_m-1, если a_m = l₁ a₁+l₂ a₂+ ... +l_m-1 a_m-1, где l₁, l₂, ... , l_m-1 – некоторые действительные числа.

Определение 5.Векторы a₁, a₂, ..., a_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁, l₂, ... , l_m , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l₁ a₁+l₂ a₂+ ... +l_m a_m равна нулевому вектору.

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

Определение 1.Векторным (линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).

Определение 2.Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует nлинейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 3.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Теорема 1. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

x = x₁ e₁+ x₂ e₂+ ... +x_n e_n.

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.

15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

Определение 1.Скалярным произведением двух векторов x = (x₁, x₂, … x_n) и y = (y₁, y₂, … y_n) n-мерного пространства называется число

(x, y) = x₁×y₁ + x₂×y₂ + … + x_n×y_n .

Определение 2.Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 3.Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

 .