9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

Неизвестные, соответствующие столбцам, на которых расположены начала ступенек, называются базисными. Вернёмся от расширенной матрицы к системе уравнений. Свободные неизвестные обозначаются произвольными буквами. Это означает, что им позволено принимать любые значения. Получим систему относительно базисных неизвестных.

Решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называют базисным.

10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что  не превосходит  . В случае  система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при  .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение

Доказательство: Если у системы уравнений  , то ранг  системы не превышает числа уравнений  , т.е.  . Таким образом, выполняется условие  и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система  уравнений с  неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система  линейных однородных уравнений, матрица которой  с определителем  , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме  , а это значит, что матрица  вырожденная, т.е.  .

11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Определение 2.Длиной вектора AB называется число çABç, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Определение 3.Произведением вектора a на число l называется вектор b=l×a, имеющий длину çbç=l×çaç, направление которого совпадает с направлением вектора a, если l>0, и противоположно ему, если l<0.

Определение 4.Суммой двух векторов a и b называется вектор c=a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. Вектор c в этом случае представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).

Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора (-1)×b.

Определение 5. Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными, векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Определение 6.Координатами вектора a называются координаты его конечной точки, если так переместить вектор параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с началом координат.

На плоскости Oxy вектор имеет две координаты: a(x₁, y₁) и b(x₂, y₂).

В пространстве Oxyz вектор имеет три координаты: a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂).

Линейные операции в координатной форме:

1) произведение вектора a=(x, y, z) на число l, есть вектор b=(l x, l y, l z);

2) суммой и разностью векторов a(x₁, y₁, z₁) и b(x₂, y₂, z₂) являются соответственно векторы c=a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂) и d=a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂);

Длина вектора a(x, y, z) вычисляется по формуле çaç =   .