7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса –метод послед-го исключ.переменных.

Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается переменная х₁. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменнаях₂ и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид:С _* Х_n=b_m,если ч-ло С=0, а b_m не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и b_m=0,т.е. 0_*Х_n=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-еХn=b_n/C

Полученное зн-е Х_n подстав.в предпосл.ур-е,находим Х_n-1и тд.,пока не получ.все неизв-е.

Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с конца находим все переменные. Допустим Х₄. Подставляем в верхнее и нах-м Х₃ и т.д.

Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Теорема Кронекера-Капелли.Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая.

 

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

Система из m линейных уравнений с n неизвестных имеет вид - раздел Математика, Две матрицы считаю равными, если совпадают их размеры и равны соответствующие элементы     AIj Называются Коэффициент..

a_ij называются коэффициентами, а b_i –свободными членами или правыми частями.

 

Матрицу А = называют матрицей (коэффициентов) системы.

Матрицу D = называют расширенной матрицей системы.

 

Если b_i = 0 при всех i = 1,2, ... , m, то система называется однородной. Если хотя бы один b_i ≠ 0, то система называется неоднородной.

Однородная система всегда имеет нулевое решение.

Если система имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной. Если не имеет –несовместной.

Если система имеет единственное решение, то её называют определённой. Если решений 2 и более, то неопределённой.

Пусть дана система m линейных уравнений с n переменными:

.

Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Замечание.На практике обычно производят (методом Гаусса) преобразования расширенной матрицы системы, что позволяет одновременно решить вопрос о совместности и определенности системы линейных уравнений.