ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

3.3. Выражение для производной

Пусть имеем i = Im sin(wt +y). Найдем выражение для производ-

ной

dtdi = dtd Im sin(ωt + ψ) = ωIm sin(ωt + ψ + π2),

следовательно, соответствие (3.5) можно переписать как

личины заменяется на операцию умножения комплексной амплитуды на множитель jw .

3.4. Выражение для интеграла

Пусть имеем i = Im sin(wt +y). Найдем выражение для интеграла

Следовательно, соответствие (3.6) можно переписать

Операция интегрирования синусоидально изменяющейся величи- ны заменяется на операцию деления комплексной амплитуды на мно- житель jω.

3.5. Алгебраизация уравнений

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи с по-

Пусть емкость С предварительно не заряжена, т. е. UC (0) =0. Уравне- ние (3.7) в комплексной форме будет иметь вид

RI me jω t + jωLI me jωt + jω1C I me jωt = U me jωt .

Вынесем I m за скобки, сократим на множитель ejωt обе части уравне- ния, получим

Таким образом, дифференциальное уравнение (3.7), записанное для мгновенных значений, преобразуется в алгебраическое уравнение (3.8) для комплексных амплитуд. Аналогичное уравнение можно за-

писать для комплексных действующих и значений

I (R + jωL + jω1C ) = U,

и для комплексных средних значений

I ср (R + jωL + jω1C ) = U ср.

51

3.6.Закон Ома для цепи синусоидального тока. Комплексное сопротивление

собой комплекс, имеющий размерность сопротивления – комплекс-

ное сопротивление

Z = R + jwL + jw1C = R + j(wL - w1C ) = R + jX = Ze jϕ,

где R – активное, Х – реактивное сопротивления; Z – модуль полного

сопротивления (Z = R2 + X 2 ) , а j – угол сдвига фаз, φ=arctg(X /R).

Комплексное электрическое сопротивление – комплексная вели- чина, равная отношению комплексного действующего значения сину- соидального электрического напряжения на выводах пассивной элек- трической цепи или ее элемента к комплексному действующему зна-

чению синусоидального электрического тока в этой цепи или в этом

Выражения (3.9) и (3.10) представляют собой закон Ома для синусои- дального тока, соответственно для амплитудных и действующих зна- чений. Обобщенный закон Ома для цепи синусоидального тока для

действующих значений может быть записан

I = ± E ±U .

Z

Правило выбора знаков аналогично, как и для случая постоянного то- ка.

52

3.7. Комплексная проводимость

Комплексная электрическая проводимость – комплексная вели- чина, равная отношению комплексного действующего значения сину-

соидального электрического тока в пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему значению синусои-

дального электрического напряжения на выводах этой цепи или на этом элементе (ГОСТ Р52002-2003).

3.8.Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей

Треугольник сопротивлений можно получить из векторной диа- граммы цепи с последовательно соединенными участками активного, индуктивного и емкостного характера (рис. 3.4).

Последовательность построения векторов указана в окружно-

стях.

Если все напряжения, составляющие векторную диаграмму, по- делить на одну и ту же величину, очевидно, что получим такую же диаграмму, только в измененном масштабе. Если в качестве такой ве- личины выбрать значение тока, который одинаков для всех элементов последовательной цепи, то получим соответствующие сопротивле- ния. Учитывая, что сопротивления имеют скалярный характер, полу-

53

Если принять yu=0, то j = yu - yi= - yi , т. е. yi = - j;

u= Um sin wt,

i = Im sin (wt - j ).

Подставим выражения для мгновенных значений i и u в (3.11)

Р = UmIm Tòsinwt sin(wt - j)dt T 0

и воспользуемся известным тригонометрическим соотношением sin asinb = 12[cos(a -b) - cos(a + b)],

получим

Р = UI cosj.

Рассмотрим способ определения активной и реактивной мощно- стей в комплексной форме записи. Пусть напряжение на участке цепи

U = Ue jψu , а ток I = Ie jψi . Учитывая, что для определения активной и реактивной мощностей следует использовать разность фаз φ, кото- рая рассчитывается в виде φ=yu – yi, при вычислении комплексной

мощности в виде произведения комплексных чисел комплекс тока следует взять сопряженным.

Комплексная мощность – комплексная величина, равная произ-

ведению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения и сопряженного комплексного дейст- вующего значения синусоидального электрического тока (ГОСТ Р52002-2003).

S = U I = Ue jψu Ie− jψi = UIe j(ψu −ψi ) = = IUe jϕ = IU cosj + jIU sinj = P + jQ,

где Re{U I }= P [Вт] – активная мощность, Jm{U I }= Q [ВАр] – ре-

активная мощность – величина, равная при синусоидальном элек- трическом токе и электрическом напряжении произведению дейст-

55

вующего значения напряжения на действующее значение тока и на синус сдвига фаз между напряжением и током (ГОСТ Р52002-2003);

S = UI = P2 + Q2 – модуль полной комплексной мощности или

просто полная мощность [ВА] – величина, равная произведению дей- ствующих значений электрического тока и электрического напря- жения на входе двухполюсника (ГОСТ Р52002-2003).

Такой же результат по определению активной, реактивной и

полной мощностей можно получить из анализа векторной диаграммы активно-реактивной цепи, например, цепи с последовательным со-

Активная мощность физически представляет собой энергию, ко- торая выделяется в единицу времени в виде теплоты в резисторе R и измеряется с помощью ваттметра P = UIcosϕ = I2R.

Реактивная мощность Q = UIsinϕ пропорциональна энергии, ко-

торая идет на создание электрического и магнитного поля емкости и индуктивности и измеряется с помощью счетчиков реактивной энер- гии.

Модуль полной мощности S может быть найден с помощью ам- перметра и вольтметра, тогда как ваттметр измеряет активную мощ- ность (рис. 3.8).

машины, рассчитано на определенное напряжение U, обусловленное

56

типом и качеством изоляции, и на определенный ток, обусловленный допустимым нагревом проводников. Наивысшее использование свойств электротехнических устройств будет в случае, когда cosϕ ра- вен единице.

Методы повышения cosϕ:

а) естественный – работа энергетического оборудования в но- минальном режиме,

б) искусственный – установка компенсирующих устройств. Так, при индуктивном характере нагрузки в качестве компенсаторов ис-

пользуют батареи конденсаторов либо специальные электрические машины – синхронные компенсаторы.

Таким образом, как первый, так и второй способы дают одина- ковые результаты расчета полной и активной мощности, тогда как ре- активная мощность отличается только знаком.

3.11. Расчет сложных электрических цепей комплексным методом

Расчет сложных линейных электрических цепей синусоидально- го тока комплексным методом осуществляется с помощью всех из-

вестных методов теории линейных электрических цепей постоянного тока. Все методы применимы в общем случае без ограничений.

57

Метод узловых потенциалов

ϕ4 = 0 ,

ϕ1Y11 + ϕ 2Y12 + ϕ 3Y13 =J11 ,

ϕ1Y21 + ϕ 2Y22 + ϕ 3Y23 =J22 ,

ϕ1 Y31 + ϕ 2Y32 + ϕ3 Y33 =J33 ,

Y13 = Y 31 = −Y1 = − 1 ;

Z1

J11 = E2Y 2 − E1Y1,

J 22 = −E2Y 2 + E5Y 5 − E3Y 3,

J 33 = E3Y 3 + E1Y1.

Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока в установившемся режиме комплексным методом аналогичен расчету электрических цепей постоянного тока и производится по алгебраи- ческим уравнениям, составленным по методам, основанным на зако- нах Ома и Кирхгофа.

Алгоритм расчета комплексным методом

1. Мгновенные значения напряжения источников ЭДС, токов источников тока заменяют соответствующими комплексными вели-

чинами

59