1.5. Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений. Деформации в сплошной среде. Тензор деформаций. Тензор скоростей деформаций.

В МСС принято разделять все силы на внешние и внутренние.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия сплошной среды с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является гравитационная сила - сила тяжести.

Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов сплошной среды. Они не могут изменить количество движения этого объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости.

Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными.

Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы) - ускорение. Рассмотрим в качестве примера силу тяжести. Плотность её распределения – вектор равный по модулю ускорению свободного падения. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести , где g = 9,81 м/с²  ускорение свободного падения. При этом вес объёма равен:

. (1.5.1)

Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения. Характеристикой поверхностной силы является её распределения по поверхности, которое называется напряжением.

Напряжение. В сечении сплошной среды на произвольно ориентированной площадке с нормалью действует вектор напряжения (рис.1.10). Его можно разложить на две составляющие нормальное напряжение и - касательное напряжением на данной площадке. Если площадка лежит в плоскости нормальной оси координат, то напряжение определяется тремя величинами – проекциями на соответствующие оси (рис.1.11). Напряжения на площадках, нормальных осям, определяются зависимостью:

рис.1.10 рис.1.11

Рассмотрим в сплошной среде элементарный объем - силовой тетраэдр (рис.1.12). Три грани которого принадлежат координатным плоскостям, а четвертая нормальна . Напряжение , действующее на , может быть охарактеризовано тремя проекциями p_nx , p_ny и p_nz на координатные оси х, у и z и зависит от направления площадки нормали к .

.

Первый индекс указывает на направление площадки, второй — на ось проектирования.

Применим к второй закон Ньютона (сила = массе умноженной на ускорение):

.

Разделим все на и переходя к пределу , с учетом получим формулы Коши для напряжения на произвольно ориентированной площадке, проходящей через данную точку:

(1.5.2)

Силовой тетраэдр. Рис.1.12

Обратим внимание, что данное выражение есть произведение некоего обекта, задаваемого матрицей 3х3 на вектор единичной нормали. Данный объект называется тензором напряжений:

(1.5.3)

Составляя три основных уравнения равновесия тетраэдра – три уравнения момента. Удобно делать это относительно осей, проходящих через центр масс – точку с координатами . В этом случае в уравнениях из 12 напряжений, будут присутствовать, только по два касательных, а остальные будут либо параллельны выбранной оси, либо будут проходить через нее. В результате получаем

(1.5.4)

эти равенства выражают закон взаимности касательных напряжений, а сам тензор напряжений является симметричным.

Таким образом, напряженное состояние сплошной среды в любой точке однозначно определяется шестью величинами напряжений, которые и составляют симметричный тензор.

Если грань тетраэдра совпадает с поверхностью твердого тела, то проекции вектора напряжений совпадают с проекциями внешней нагрузки

(1.5.5)

Так как тензор напряжений симметричный, то всегда можно выбрать такую систему координат, в которой он будет иметь диагональный вид. Для этого необходимо решить характеристическое (вековое) уравнение:

. (1.5.6)

Решением характеристического уравнения являются три величины , которые называются главными напряжениями, а направления нормалей к площадкам на которые они действуют – главными осями напряженного состояния системы.

Рассмотрим бесконечно малый отрезок dS (рис.1.12) , проекции которого на оси декартовой системы координат dx, dy, dz . Пусть при деформации точка M смещается, причем проекции ее перемещения . В теории упругости рассматриваются деформации и перемещения, т.е. такие величины, для которых их произведениями и квадратами можно пренебречь. Тогда проекции перемещение точки M’ будут:

(1.5.7)

Проекции dS^* , в который переходит отрезок dS после деформации:

Вычисляя и отбрасывая члены второго порядка, получим:

, (1.5.8)

(1.5.9)

Рис.1.13

Данные шесть величин полностью характеризуют деформационное состояние тела и составляют тензор деформации:

(1.5.10)

Разберемся с физическим смыслом этих величин. Введем относительное удлинение отрезка

, (1.5.11)

Тогда для малых деформаций

. (1.5.12)

или в проекциях

(1.5.13)

Таким образом, диагональные компоненты равны удвоенным относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, которые до деформации были параллельны координатным осям.

Рассмотрим, как изменяются углы при деформации. Возьмем плоскость 0zy (рис.1.13) и посмотрим как изменится первоначально прямой угол между отрезками dy и dz. Видно, что с точность до бесконечно малых второго порядка этот угол изменится на то есть на .

Таким образом, недиагональные составляющие есть величина изменения первоначально прямого угла между соответствующими бесконечно малыми отрезками после деформации. Величины , , принято называть сдвигами.

Приведем окончательный вид записи тензора деформаций:

(1.5.14)

Если ввести обозначение получим форму записи связи перемещений с компонентами тензора деформаций (соотношения Коши):

. (1.5.15)

Рис.1.14

Тензор деформации и тензор напряжения подобны, это позволяет выявить важные свойства деформированного состояния.

Пусть в теле созданы напряжения пропорциональные деформациям,

(1.5.16)

Было показано, что для каждой точки напряженного состояния существуют такие ориентации площадок, на которых реализуются главные напряжения. Тогда:

(1.5.17)

Таким образом, в деформированном теле существуют три направления, сдвиги между которыми равны нулю. Прямые, проведенные по этим направлениям, называются главными осями деформируемого состояния в данной точке. Относительные удлинения по этим направлениям называются главными удлинениями:

(1.5.18)

Выполнив замену в характеристическом уравнении, получим так же кубическое уравнение

(1.5.19)

Коэффициенты в вековом уравнении, определяемые формулами (1.5.19) называют инвариантами тензора деформаций.

Связь между тензором напряжений и тензором деформаций, определяет физическую модель сплошной среды (ее реологию). В частности, для модели изотропных упругих тел, имеют место соотношения обобщенного закона Гука известные из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие:

(1.5.20)

Здесь Е и G — модули Юнга (модуль продольной упругости) и сдвига,  - коэффициент Пуассона. Они связаны известной зависимостью .

В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. В этом случае получаем

, (1.5.21)

В случае текучих сред связь между тензорами напряжений и деформаций отсутствует. И в рассмотрение вводится тензор скоростей деформаций:

(1.5.22)

А модель сплошной среды определяется зависимостью между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Так для ньтоновских жидкостей используется соотношение, называемое обобщенный закон Ньютона:

(1.5.23)

Наиболее простой моделью является модель «идеальной» жидкости:

(1.5.24)

Экспериментальные данные и общие физические представления показывают, что при больших температурах и давлениях любая среда практически обладает свойствами идеальной жидкости.