5. Движение жидкостей и газов в пористой среде.

5.1.Основные понятия.

Грунт, вследствие неплотного прилегания образующих его частиц друг к другу, является пористой средой. Пористые среды являются типичным примеров гетерогенной сплошной среды. Они состоят из: твердого каркаса и пор. Различают закрытые и открытые поры. Первые – замкнутые объемы, заполненные газом или жидкостью, вторые - объемы имеющие не замкнутую границу, через часть которой может проникать газ или жидкость. Течение жидкости и газа (фильтрация) происходит в капиллярных каналах весьма сложной формы, образованных порами грунта. При решении вопросов фильтрации методами гидродинамического анализа приходится пользоваться упрощенными моделями грунта. К таким моделям относятся "идеальный грунт" (рис.5.1), у которого капиллярные каналы, составленные из пор, образующихся между песчинками, принимаются цилиндрическими и параллельными между собой, и "фиктивный грунт", все частички которого принимаются за шары одинакового диаметра (рис.5.2).

Рис.5.1.

"Идеальный грунт"

Рис.5.2.

"Фиктивный грунт", упаковки шаров. 1 – кубическая, 2 – ромбоэдрическая.

Отношение суммы объёмов пор по всему объёму данного грунта называется пористостью:

.

где  объём грунта,  суммарный объём частиц, составляющих грунт.

Пористость «фиктивного грунта» не зависит от диаметра взятых шаров, а зависит только от их расположения в рассматриваемом объёме и определяется по формуле:

, (5.1.1)

где   угол, зависящий от взаимного расположения шаров.

Отношение - называется просветом и физически характеризует собой площадь, через которую фильтруется жидкость.

где  площадь всего рассматриваемого сечения грунта,  площадь, занимаемая в этом сечении шарами, Для «фиктивного грунта»:

. (5.1.2)

и зависит только от взаимного расположения шаров.

В XIX веке французский ученый Дарси для опытов в песках установил, что для опытов в песках:

.

Н.Н.Павловским предложен критерий допустимости использования закона Дарси, скорость потока должна быть меньше

.

Для «идеального» грунта при ламинарном движении скорость жидкости в поровой трубке определяется по формуле:

, (5.1.3)

где Г  гидравлический радиус поперечного сечения поровой трубки,  падение гидродинамического давления на длине l поровой трубки,  динамический коэффициент вязкости,   число, входящее в степенную формулу, определяющую коэффициент сопротивления

, (5.1.4)

и зависящее от режима течения жидкости и показателя i.

Скорость ламинарной фильтрации в идеальном грунте, выраженная через действительную скорость течения жидкости по поровому каналу, равна

, (5.1.5)

где имеет размерность площади и называется проницаемостью.

Под проницаемостью пористой среды понимается свойство пропускать через себя жидкость или газ под действием приложенного градиента давления, то есть это проводимость пористой среды по отношению к жидкости или газу.

При чисто квадратичной фильтрации (турбулентный режим) действительная скорость течения в поровой трубке не зависит от вязкости жидкости.

Скорость фильтрации в этом случае определяется по формуле:

, (5.1.6)

где . Число  имеет в этом случае иное значение, чем при ламинарной фильтрации.

Для определения средней скорости течения жидкости через поровую трубку фиктивного грунта пользуются формулой Слихтера:

. (5.1.7)

Здесь d  диаметр шара «фиктивного» грунта.

Скорость фильтрации в «фиктивном» грунте равна

(5.1.8)

или

, (5.1.9)

где величина называется теоретической проницаемостью Слихтера.

Для «фиктивного» грунта, пористость которого изменяется в интервале 0.26  m 0.48, приближённое значение теоретической проницаемости определяется по формуле:

. (5.1.10)

При определении средней скорости движения по поровому каналу, в связи с его криволинейностью, необходимо вместо действительной толщины пласта (грунта) h вводить фиктивную толщину:

.

Расход жидкости через «фиктивный» грунт:

или , (5.1.11)

где F  площадь сечения грунта, . При измерении d и h в сантиметрах F  в квадратных сантиметрах,   динас/см²,   см. вод. ст. при 4С и Q см³/с , формула расхода принимает вид

.

Приведённые формулы скорости и расхода применимы для частиц, средний диаметр которых изменяется в пределах 0,01мм  5 мм.

Формула (2.26) является основной формулой для определения скорости фильтрации в фиктивном грунте.

Для определения коэффициента проницаемости этой формулы существует ряд зависимостей, из которых наиболее распространёнными являются:

• формула Козени, уточнённая Л.С.Лейбензоном:

, (5.1.12)

где ² = 5/3, исходя из предположения, что поперечное сечение порового канала есть равносторонний треугольник; для случая квадратного сечения ² = 16/5.

• формула Терцаги I:

, (5.1.13)

где коэффициент  зависит от структуры грунта; для песка с гладкой поверхностью  = 10.5; с угловатой  6.0.

• формула Терцаги II:

, (5.1.14)

где m₀ = 0.13; при m = m₀, т.е. когда пористость грунта очень мала, фильтрация, согласно этой формуле, прекращается.

• Формула Лейбензона, выведенная из приложения теории обтекания к фильтрации в фиктивном грунте:

(5.1.15)

Пользуясь методом размерности, Лейбензон получил следующую общую формулу теории фильтрации:

где В₁  некоторая постоянная, а  и Г  безразмерные величины, определяемые равенствами:

.

Указанные формулы могут быть использованы при исследовании фильтрации жидкости через естественный грунт с последующей заменой диаметра d шара фиктивного грунта через так называемый эффективный или действующий диаметр частиц естественного грунта.