Приложение 1. Краткие сведения из математики.

В данном разделе приводятся без доказательств основные математические соотношения, используемые в МСС.

Скаляр – это величина, значением которой является вещественное число.

Функция f (x) – отображает числовой аргумент x в числовое значение функции y = f (x) . Функцию представляют в виде графиков и таблиц (в одной колонке аргумент, в другой – значение функции). Наряду с функцией одной переменной, рассматривают функции нескольких переменных . Например, уравнение состояния газа задает давление как функцию плотности и температуры: p = F(ρ ,T ) . Функцию двух переменных удобно изображать графически в виде карты изолиний (линий уровня) функции.

В случае одной или нескольких переменных можно говорить о совокупности значений скалярной функции, которое называется скалярным полем этой функции (поле температур, поле давления).

Вектор - это объект, который характеризуется абсолютной величиной и ориентацией в пространстве (направлением). Сам вектор не зависит от системы координат, однако в каждой заданной системе координат, можно определить проекции вектора на три координатные оси, и это будут компоненты вектора в данной системе координат. В прямоугольной декартовой системе координат компоненты вектора , - это скалярные функции, которые однозначно задают вектор.

а его модуль (длина) вычисляется по формуле

.

Поле векторной величины – распределение вектора над областью изменения аргумента. Для определения векторного поля достаточно задать систему координат и скалярные поля компонент вектора.

Операции над векторами

1. Умножение на скаляр: , где a – число или скалярная величина. Каждая компонента есть каждая компонента , умноженная на a : .

2. Сложение двух векторов. означает .

3. Скалярное произведение векторов определяется формулами . Очевидно, скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярное произведение колинеарных (параллельных) векторов равно произведению их длин.

4. Квадрат вектора есть скалярное произведение его на себя: .

5. Векторное произведение есть вектор, определяемый как определитель

Вектор направлен ортогонально к плоскости, в которой лежат вектора , а его длина равна . Очевидно, векторное произведение колинеарных векторов равно нулю.

Векторное поле графически изображают: 1) стрелками; 2) линиями тока; 3) эпюрами в проекциях.

Оператор действует на скалярную функцию или вектор, в результате получается новая функция или вектор. Например, оператор дифференцирования , действуя на функцию f (x) дает новую функцию – ее производную g(x) = f ′(x) .

Функционал. Функционал y = F(f) действует на функцию, в результате получается скаляр (число). Таким образом, с помощью функционала каждой функции ставится в соответствие число.

Элементы тензорного анализа. В МСС оперируют с тензорными полями, компоненты тензоров являются функциями координат и времени.

Пусть произвольный вектор задан компонентами в основном (ковариантном) и взаимном (контрвариантном) базисе:

Отметим, что для ортогональных систем координат основной и взаимный базисы совпадают. Далее будем использовать только ортогональные системы координат. В современной научной и учебной литературе используется символьная форма записи. Такая форма записи не зависит от системы координат. В частности, при такой форме записи используются объекты называемые тензорами, которые состоят из набора скалярных функций и не зависящий от системы координат (инвариантность относительно преобразования координат). Выше мы рассматривали простейшие тензоры: скаляр и вектор. Тензор характеризуется рангом, который можно определить как количество индексов, используемых для перечисления входящих в него скалярных функций. Так, скаляр – это тензор нулевого ранга, а вектор – это тензор первого ранга. Не все свойства сплошной среды можно описать с помощью этих простейших тензоров; в частности широко используются тензоры второго ранга (диадики) с двухиндексными компонентами , каждая из которых является, вообще говоря, скалярной функцией точки пространства. В трехмерном пространстве индексы i, j изменяются от 1 до 3, так что тензор второго ранга содержит 9 компонент. Эти компоненты удобно представить в виде матрицы:

При решении конкретных задач МСС приходится переходить от символьной формы записи уравнений, к записи уравнений в конкретной системе координат. При этом удобно использовать единичные вектора базиса и так называемые физические компоненты векторов и тензоров. Единичный базис можно ввести следующим образом:

Здесь - метрический тензор.

В ортогональной системе координат метрический имеет диагональный вид:

В этом случае для символьной записи вводят коэффициенты Ляме:

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

.

В сферической системе координат:

.

Математические действия с тензорами производятся по тем же правилам, что и с матрицами. Среди тензорных операций, помимо тривиальных операций сложения тензоров и умножения тензора на число, выделим операции умножения тензоров второго ранга, тождественное умножению матриц:

.

Для нас важно, что если какая то характеристика среды описывается диадикой , то ее значение в направлении, заданном единичным вектором , есть вектор . Так как тензора второго ранга определяются матрицами, то часто используется понятие следа тензора (матрицы), который равен сумме диагональных элементов:

.

В механике при символьной форме записи широко используется оператор Гамильтона:

.

Переход к физическим компонентам в ортономируемых системах координат по следующим формулам:

Градиент скаляра. - вектор.

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

.

В сферической системе координат:

.

Градиент вектора. - тензор второго ранга.

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

.

В сферической системе координат:

.

Дивергенция вектора. - скаляр.

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

.

В сферической системе координат:

.

Дивергенция тензора. - вектор

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

.

В сферической системе координат:

.