6.3. Система уравнений для полидисперсного течения

Дискретный компонент гетерогенных потоков в подавляющем большинстве случаев является полидисперсной системой, в которой массы отдельных частиц могут отличаться в десятки и сотни тысяч раз. Если содержание частиц не велико, то их взаимодействие не имеет существенного значения. Наша модель легко может быть обобщена на случай движения полидисперсной смеси, без учета взаимодействия частиц между собой. Пусть в каждой точке пространства, за исключением особых, имеется N+1 скорость и температура, где N – количество фракций, которые различаются между собой (размером, материалом и т.д), тогда движение такой смеси может быть описано системой из 3N+3 уравнений:

, (6.32)

, (6.33)

, (6.34)

, (6.35)

, (6.36)

. (6.37)

Если основное различие между фракциями – размер частиц, то фракционный (гранулометрический) состав полидисперсного ансамбля может быть выражен посредством нормированных дифференциальных функций счетного f и массового G распределения:

,

а также соответствующих интегральных характеристик распределения

где df, dG – соответственно счетная и массовая доли частиц размером от r до r+dr.

Во многих приложениях фракционный состав подчиняется нормально-логарифмическому распределению

,

где lnr₀, ln² - математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение логарифма радиуса. Это имеет место, в частности, при конденсационном образовании аэрозоля, дроблении капель, при распылении жидкостей форсунками. В связи со сложностью описания реальных потоков получили распространение методы осреднения размера частиц. Большинство этих методов сводится к использованию выражений вида

.

В частности весьма популярен r_4,3 – среднемассовый размер частиц. Следует отметить, что такой подход (приемлемый при решении отдельных задач) может приводить к серьезным ошибкам, в том числе и качественного характера.

6.4. Равновесное и замороженное двухфазные течения

Рассмотрим одномерное приближение для случая установившегося непрерывного движения монодисперсной смеси и исследуем ряд предельных случаев такого движения. Полагая после ряда простых преобразований, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Уравнение движения для частицы:

(4.38)

Уравнение теплообмена между газом и частицей:

(4.39)

Уравнение движения для смеси и частиц:

. (4.40)

Уравнение сохранения энергии для смеси газа и частиц:

(4.41)

Дополним систему уравнением состояния

.

Вводя число Маха для газа, получим из (4.40), (4.41) следующие уравнения справедливые для течения в канале переменного сечения:

, (4.42)

. (4.43)

Рассмотрим уравнение (6.42). Пусть рассматриваемое нами течение газа ускоряющееся du > 0 , тогда газ будет разгонять частицы  du_p > 0 и  > (-1)u_p/u. Как известно dT < 0, и газ будет охлаждать частицы  dT_p < 0. Видно, что выражение в фигурных скобках {}>0. Таким образом, скорость звука для газа при двухфазном установившемся течении достигается в расширяющейся части сопла dL/L. Причем чем больше концентрация частиц в потоке W, тем дальше.

Рассмотрим предельный случай: ₁  . Это случай очень мелких, легких частиц, динамическое и энергетическое взаимодействие которых с газом очень велико. При этом u  u_p , T  T_p , а рассматриваемое движение называется равновесным. Система уравнений описывающая такое течение имеет вид:

(6.44)

Если ввести равновесные расход , плотность , удельную теплоемкость , газовую постоянную , скорость , температуру , давление и определить показатель адиабаты соотношением:

, (6.45)

то уравнения для равновесных потоков в точности совпадут с уравнениями обычной газовой динамики. Таким образом, все закономерности для изоэнтропических течений, могут быть перенесены на равновесные двухфазные течения. Отметим, что подобные свойства имеют место и для течений с постоянными скоростным и температурным отставаниями частиц.

“Равновесная” скорость звука

, (6.46)

достигается в минимальном сечении сопла Лаваля. Из формулы (6.46) видно, что . Очевидно, что можно определить “равновесное” число Маха

. (6.47)

Второй предельный случай: ₁  0, ₁  0. Очевидно, что скорость и температура частиц остаются при этом неизменными. Обычно такое движение называют замороженным. Данное приближение часто используется для оценки максимальных динамического и температурного .