5.2.Определение эффективного диаметра.

Для характеристики гетерогенных систем используют понятие среднего - эффективного диаметра (радиуса): В связи со сложностью описания реальных потоков получили распространение методы осреднения размера частиц. Большинство этих методов сводится к использованию выражений вида:

.

В частности весьма популярен – среднемассовый размер частиц. Следует отметить, что такой подход (приемлемый при решении отдельных задач) может приводить к серьезным ошибкам, в том числе и качественного характера.

Зная закон массового распределения частиц по размерам, и имея в своём распоряжении интегральную кривую весового участия фракций грунта, можно определить эффективный диаметр.

• Метод Аллан Газена. За эффективный диаметр частицы принимается такой диаметр, для которого сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 10% от взятого веса грунта; при этом должно выполняться условие где d_е  диаметр, при котором сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 60% от веса всех фракций. Это отношение называется коэффициентом неоднородности.

• Метод КрюгерЦункера. Эффективный диаметр определяется из соотношения:

, (5.2.1)

где  весовое участие фракции в общем весе взятой единицы объёма грунта, d_i  средний диаметр фракции, определяемый как среднее арифметическое крайних диаметров и этой фракции:

.

• Метод Козени. Эффективный диаметр находится по формуле:

. (5.2.2)

При этом d₁  верхний крайний диаметр последней фракции (который должен быть меньше 0.0025мм). g₁  доля веса грунта последней фракции, выраженная в процентах. Средний диаметр фракции

• Метод Замарина. Эффективный диаметр определяется по формуле:

(5.2.3)

где А_i  угловые коэффициенты (относительно оси d) последовательных прямых отрезков кривой весового участия фракции.

5.3.Формулы фильтрации.

Закон Дарси. При очень медленном движении жидкости в пористой среде (пласте), когда силы инерции ничтожно малы и ими можно пренебречь, для скорости фильтрации принят так называемый линейный закон фильтрации, или закон Дарси:

, (5.3.1)

где H/l  потеря напора на единицу длины пласта (соответствует гидравлическому уклону ).

Коэффициент пропорциональности в формуле (2.36) называется коэффициентом фильтрации. Он характеризует одновременно фильтрационную способность среды и протекающей в нём жидкости. К  см/с.

Закон Дарси можно выразить через коэффициент проницаемости k, характеризующий пористую среду, и динамический коэффициент вязкости  жидкости:

, (5.3.2)

  удельный вес жидкости.

Расход жидкости Q, протекающий через площадь фильтрации f, определяется формулой:

. (5.3.3)

Закон Дарси в дифференциальной форме

, (5.3.4)

где s  направление, которое берётся вдоль струйки по скорости .

Для коэффициента проницаемости имеем

(5.3.5)

k = см².

1 дарси = .

Коэффициент проницаемости равен 1 дарси при абсолютной вязкости  = 1 сантипуазу, р =1 ат на длине 1 см, площади сечения 1 см² и расходе жидкости 1 см³/с.

При движении жидкости в крупнозернистых грунтах закон ламинарной фильтрации нарушается в связи с турбулентным характером течения. Такое нарушение может происходить и при ламинарном движении за счёт сравнительно высоких скоростей течения, при которых нельзя пренебрегать влиянием сил инерции.

Критерием существования ламинарной фильтрации является число Рейнольдса.

• По Н.Н. Павловскому .

При этом 7 Гe_кр  5.

• По В.Н. Щелкачёву , 1 Гe_кр  12.

• М.Д. Миллионщиков ввёл в формулу Рейнольдса внутренний масштаб породы (линейный размер) l^*:

,

где k  коэффициент проницаемости, m  пористость; за характерную скорость принимается истинная скорость фильтрации, равная .

Тогда

. (5.3.6)

Критическое значение 0.022  Гe_кр 0.290.

Если фильтрация не подчиняется закону Дарси (нелинейна), то используют следующие представления:

• скорость U или дебит Q представляются степенной зависимостью от градиента давления

, (5.3.7)

где C и n некоторые коэффициенты;

• двучленной формулой для градиента давления вида

, (5.3.8)

где   элемент струйки, b  коэффициент, зависящий от геометрии пористой среды, шероховатости и т.п.

Скорости фильтрации струек пропорциональны расходам (дебитам), поэтому двучленный закон сопротивления при нелинейной фильтрации может быть представлен уравнением индикаторной кривой для несжимаемой жидкости в виде

, (5.3.9)

графически изображаемой параболой.

Для газа (воздуха) будем иметь

,

где А₁ и В₁  параметры, характерные для данного пласта и скважины.

• Л.С. Лейбензон, исходя из общей теории фильтрации, предложил определять скорость фильтрации по формуле:

;

здесь   кинематический коэффициент вязкости, J  гидравлический уклон, k  проницаемость, B₁  постоянная величина. При квадратичной турбулентной фильтрации показатель степени S = 2.