2.2. Абсолютное, избыточное давление. Вакуум.

Согласно (2.1.8) возможны три случая действия внешнего давления:

.

1. . На рис.2.2. изображен закрытый резервуар, с жидкостью на свободной поверхности которой, создано давление . Сбоку находится стеклянная трубка с открытым верхом для измерения, которая называется пьезометром. Жидкость в пьезометре поднимается на высоту , на поверхности жидкости давление равно атмосферному . Согласно (2.1.8) на уровне соответствующему штриховой линии

,

- пьезометрическая высота, - избыточное давление, а - пьезометрический напор.

Рис.2.2. Закрытый резервуар. Случай .

В данном случае положительная величина, которая имеет специальное название – манометрическое давление.

. (2.2.1)

Мы можем сделать важный вывод, что давление можно измерять и высотой столба жидкости.

. (2.2.2)

Рис.2.3. Закрытый резервуар. Случай .

2. Если откачивать газ из сосуда, то давление и следовательно пьезометрическая высота будут уменьшаться и в момент, когда давление сравняется с атмосферным, пьезометрическая высота станет равной глубине. Аналогичного результата можно достичь сделав сосуд открытым. Данная ситуация приведена на рис.2.3. Отметим, что в этом случае

.

Рис.2.4. Закрытый резервуар. Случай .

3. . Понижая давление в баке ниже атмосферного видим, что пьезометрическая высота становится меньше глубины. Так как возможен случай, когда уровни жидкости в баке и трубке могут быть ниже отверстия бака, то обычно используется обратный пьезометр (вакуумметр) рис.2.4. Из рисунка видно, что весовое давление будет меньше . В этом случае говорят, что в баке имеет место вакуум – недостаток давления в данной точке ниже атмосферного. Введем понятие вакуумметрической высоты:

. (2.2.3)

Отметим, что плотность воды 1000 , а , поэтому водяного столба. Таким образом, максимальная высота на которую можно поднять воду всасывающим насосом примерно равна 10 м.

Для измерения используется так же и другой тип вакуумметр (рис.2.5.).

Рис.2.5. Вакуумметр.

2.3. Сила давления жидкости на плоскую поверхность. Центр давления. Гидростатический парадокс. Давление жидкости на криволинейные поверхности.

На практике часто требуется знать силы, действующие на те или иные гидротехнические конструкции и сооружения. Для наглядности такие нагрузки принято изображать в виде эпюр гидростатического давления – графического распределения давления вдоль поверхности (рис.2.6).

Рис.2.6. Пример построения эпюр давления.

Сила давления на плоскую поверхность. Рассмотрим произвольную площадку , расположенную на плоскости , имеющую наклон градусов к плоскости свободной поверхности (рис.2.7). Над поверхностью находится жидкость с плотностью .

Рис.2.7. К определению силы давления на плоскую поверхность.

Для удобства изложения развернем плоскость вокруг оси и совместим ее с плоскостью рисунка. Рассмотрим элементарную площадку на плоскости и принадлежащую поверхности , в окрестности точки , находящейся на глубине . Сила избыточного давления на будет равна . Здесь - среднее значение давления на . Так как, - мало, то можно принять . Следовательно , а суммарное давление на площадку равное искомой силе :

.

Учтем, что , тогда:

.

Из теоретической механики известно, что - статический момент площади , относительно оси , который равен произведению площади на плечо, равное расстоянию от оси до центра тяжести площади :

,

. (2.3.1)

Таким образом, сила избыточного давления на любую площадку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести площадки на ее площадь.

Соответственно сила абсолютного давления на площадку:

.

Центр давления – точка приложения результирующей силы давления жидкости. Обозначим эту точку буквой . Согласно теоретической механике момент равнодействующей силы относительно оси равен сумме моментов сил ее составляющих. Выберем за таковую ось . В нашем случае:

.

Здесь - момент инерции площади относительно оси . Следовательно:

.

С учетом (2.3.1) имеем:

. (2.3.2)

Из теоретической механики известно:

.

Здесь - момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс и параллельной оси . Окончательно получим:

. (2.3.3)

Следовательно, центр давления всегда расположен ниже центра масс, или совпадает с ним если площадка горизонтальная.

Для простых геометрических фигур могут быть вычислены по формулам.

Для прямоугольника, сторона основания которого параллельна оси и равна , а высота :

.

Для равнобедренного треугольника:

.

Для круга диаметром :

Координата для симметричных фигур совпадает с координатой центра масс , которая принадлежит оси симметрии. В случае отсутствия симметрии координата, определяется аналогично координате , но в этом случае рассматриваются моменты относительно оси .

Гидростатический парадокс. Рассмотрим сосуды различной формы, но имеющими одинаковую площадь основания (рис.2.8). Несмотря различный вес жидкости в сосудах, сила действующая на их дно будет одинаковая.

Рис.2.8. Гидростатический парадокс.

Сила давления жидкости на криволинейные поверхности. Рассмотрим криволинейную поверхность , находящуюся на некоторой глубине. Поместим систему координат на свободной поверхности, направив ось вниз перпендикулярно поверхности. Выделим в жидкости цилиндр, так чтобы его боковая поверхность была параллельна оси , и проходила по границе поверхности на дне, до пересечения со свободной поверхностью, такой выделенный объем называют телом давления. Пусть - внешняя нормаль к поверхности , тогда на элемент поверхности будет действовать сила, имеющая проекции . Интегрируя по поверхности, и учитывая зависимость избыточного давления от глубины , получим:

Рис.2.9. К определению силы действующей на криволинейную поверхность.

Для вертикальной составляющей можно использовать и более простой способ вычисления. Условия равновесия жидкого цилиндра можно записать в виде:

Здесь - проекции сил действующих на жидкий цилиндр. Рассмотрим проекцию на ось . Сила веса жидкости в теле давления - цилиндре, нижняя поверхность которого совпадает с поверхностью , а боковая поверхность достроена вертикально до пересечения со свободной поверхностью, приложенная к его центру масс должна уравновешиваться проекцией на реакции поверхности на цилиндр. Следовательно:

. (2.2.4)

Спроектируем поверхность на плоскость - и плоскость - , при этом необходимо учитывать знак проекции. Условимся считать проекцию положительной, если - внешняя нормаль к поверхности направлена на соответствующую плоскость, и отрицательной если направлена от плоскости. Так, например, для поверхностей вращения вокруг оси параллельной , проекции и равны 0, так как равны сумме положительной и отрицательной площадей, равных по модулю. Таким образом, проекции силы действующей на криволинейную поверхность на оси :

(2.2.5)

Здесь - глубина на которой находится центр масс соответствующей проекции поверхности .

Рис.2.10. Сечение трубы

Определение толщины стенок цилиндрических резервуаров и труб. Рассмотрим действие избыточного давления жидкости на трубу круглого поперечного сечения длиной (рис.2.10). Проекция силы согласно (2.2.5) есть:

.

Данная сила уравновешивается упругими силами растяжения. Растягивающее напряжение можно определить разделив данную силу на площадь стенки трубы:

.

Зная - допустимое напряжение материала трубы, можно вычислить толщину стенок трубы .