Функції випадкових величин

Приклад. Випадкова величина задана функцією розподілу

Знайти , якщо

Розв’язання. Оскільки функція монотонно зростає при , визначимо функцію розподілу за формулою:

.

Із функціональної залежності знаходимо вираз і підставляємо його в функцію розподілу з умови. Маємо:

Отже,

Диференціюючи отриманий вираз по , отримаємо щільність ймовірностей для випадкової величини :

Граничні теореми теорії ймовірностей

Приклад. Ймовірність появи події в деякому експерименті дорівнює 0,5. Проведено 100 незалежних випробувань. Чи можна з ймовірністю, більшою ніж 0,7 стверджувати, що число появ події буде в межах від 40 до 60?

Розв’язання. Випадкова подія розподілена за біноміальним законом, тому , .

Подію запишемо у вигляді:

.

Застосуємо нерівність Чебишова

.

Отримаємо

.

Отже, з ймовірністю, більшою ніж 0,7 можна стверджувати, що число появ події про 100 незалежних випробуваннях буде в межах від 40 до 60.

Елементи теорії випадкових процесів

Приклад. Прядильниця обслуговує в середньому 360 веретен за годину. Яка ймовірність того, що в дану хвилину відбудеться обрив на 3 веретенах?

Розв’язання. Позначимо через число обривів ниток за проміжок часу від 0 до хвилин. При отримаємо значення випадкового процесу – випадкову величину число обривів ниток за хвилину. Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром .

Оскільки за годину = 60 хвилин прядильниця обслуговує 360 веретен, то . Шукану ймовірність знайдемо за формулою:

.

При , , будемо мати:

.

Методи статистичного опису результатів спостережень Статистичні оцінки параметрів розподілу

Приклад. Вимірювання зросту 100 юнаків віком 17 років дало такі результати:

156	161	166	162	170	167	174	160	168	165
169	171	154	166	158	162	175	167	164	161
163	159	169	156	172	168	178	176	165	167
157	166	162	173	161	169	177	179	167	164
163	160	166	170	168	174	156	165	180	169
167	164	171	168	170	159	175	166	155	162
168	172	163	160	166	176	181	167	165	157
162	154	169	173	167	161	172	177	168	165
160	163	167	170	186	166	165	158	169	166
163	166	171	169	160	167	164	168	161	184

На підставі наведених вище даних:

1) побудувати інтервальний статистичний ряд. При цьому область реалізацій розбити на вісім однакових інтервалів;

2) побудувати таблицю частот групованої вибірки;

3) побудувати гістограму і полігон частот;

4) побудувати гістограму і полігон накопичених відносних частот;

5) знайти емпіричну функцію розподілу і накреслити її графік;

6) знайти вибіркові числові характеристики:

моду (аналітично і графічно), медіану (аналітично і графічно),

методом умовних варіант: вибіркову середню , вибіркову дисперсію , вибіркове середнє квадратичне відхилення , вибірковий коефіцієнт варіації , вибіркові коефіцієнти асиметрії та ексцесу і .

7) Побудувати довірчий інтервал для з надійністю .

Розв’язання. 1) Згрупуємо вибіркові дані, для чого розрахуємо довжину інтервалу групування:

Побудуємо інтервальний статистичний ряд

інтервали	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
частоти	8	14	20	32	12	8	4	2

2) Побудуємо таблицю частот групованої вибірки

№ інтервалу	1	2	3	4	5	6	7	8
Межі інтервалів	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
Середина інтервалу	156	160	164	168	172	176	180	184
Частота інтервалу	8	14	20	32	12	8	4	2	100
Накопичені частоти	8	22	42	74	86	94	98	100
Відносні частоти	0,08	0,14	0,20	0,32	0,12	0,08	0,04	0,02	1,00
Накопичені відносні частоти	0,08	0,22	0,42	0,74	0,86	0,94	0,98	1,00	1,00

3) Побудуємо гістограму і полігон частот, скориставшись 2-м і 4-м рядками таблиці частот:

4) Побудуємо гістограму і полігон накопичених відносних частот, скориставшись 2-м і 7-м рядками таблиці частот:

5) Знайдемо емпіричну функцію розподілу:

і накреслимо її графік:

6) Для визначення моди інтервального статистичного розподілу знайдемо модальний інтервал і застосуємо формулу:

,

де — нижня межа модального інтервалу (тобто, інтервалу, який містить

найбільше число елементів вибірки);

— довжина інтервалу групування;

— частота модального інтервалу;

— частота домодального інтервалу (тобто, інтервалу, який передує

модальному);

— частота післямодального інтервалу (тобто, інтервалу, наступному за

модальним).

Модальним інтервалом є інтервал № 4: 166-170, звідки , , , . Отже,

.

Графічно моду визначимо за гістограмою частот (див. малюнок).

Для визначення медіани інтервального статистичного розподілу знайдемо медіанний інтервал і застосуємо формулу

де — нижня межа медіанного інтервалу (тобто інтервалу, якому відповідає

перша з накопичених частот, яка перебільшує половину об’єму вибірки);

— довжина інтервалу групування;

— половина об’єму вибірки;

— частота, накопичена до медіанного інтервалу;

— частота медіанного інтервалу.

Медіанним інтервалом також є інтервал № 4: 166-170, звідки , ; , . Отже,

см.

Графічно медіану визначимо за полігоном накопичених відносних частот (див. малюнок).

Для обчислення інших числових характеристик вибірки використаємо метод умовних варіант. В таблиці розподілу частот групованої вибірки найбільшу частоту має інтервал № 4. Візьмемо за умовний нуль середину цього інтервалу 168. Перетворимо дані за формулою

, ,

Будемо мати:

	156	160	164	168	172	176	180	184
	8	14	20	32	12	8	4	2	100
	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	-24	-28	-20	0	12	16	12	8	-24
	9	4	1	0	1	4	9	16
	72	56	20	0	12	32	36	32	260

Обчислимо і :

;

.

Знайдемо вибіркову середню і вибіркову дисперсію початкових даних:

см,

.

Середнє квадратичне відхилення

Обчислимо вибіркові центральні моменти -го і -го порядку за формулою:

, .

.

Коефіцієнт асиметрії:

.

Оскільки , то варіаційний ряд має лівосторонню асиметрію.

Коефіцієнт ексцесу:

.

Оскільки , то крива щільності розподілу в околі моди має більш високу і більш гостру вершину, ніж нормальна крива , тобто розподіл високовершинний.

7) Побудуємо довірчий інтервал для з надійністю .

Для побудови довірчого інтервалу при невідомій генеральній дисперсії необхідно знати , , . З умови задачі маємо: , Величину знаходимо з таблиці: .

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу :

,

,

Таким чином, маємо:

Отже, з надійністю 0,99 інтервал покриває оцінюваний параметр .