Випадкові події та ймовірності

Приклад. Гральний кубик підкидають двічі. Результат, що спостерігається, – пара чисел, які відповідають числам очок, що випали в перший і другий раз. Побудувати простір елементарних подій експерименту і такі випадкові події:

1) ={обидва рази випало число очок, кратне 3},

2) ={обидва рази випало однакове число очок}.

Обчислити , , , .

Розв’язання. Експеримент полягає в підкиданні грального кубика двічі. Простір елементарних подій експерименту:

Випадкова подія :

Випадкова подія :

Обчислимо ймовірності, користуючись класичним означенням:

, , отже ;

, отже ;

Подія

полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій або .

, отже .

Подія полягає в тому, що події і відбудуться одночасно.

, отже .

Подія і відбудеться подія .

, отже .

Подія полягає в тому, що не відбудеться подія .

, отже .

Алгебра випадкових подій та числення ймовірностей

Приклад . Розв’язати задачу.

Три студенти складають екзамен з математики. Ймовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

1) три студенти складуть екзамен;

2) три студенти не складуть екзамен;

3) два студенти складуть екзамен;

4) хоча б один студент складе екзамен.

Розв’язання. Позначимо випадкові події, які полягають у тому, що перший, другий і третій студент складе екзамен з математики. Тоді – відповідно не складе. За умовою задачі маємо:

Тоді ймовірності протилежних подій такі:

Позначимо події

={три студенти складуть екзамен};

={три студенти не складуть екзамен};

={два студенти складуть екзамен};

={хоча б один студент складе екзамен}.

Оскільки випадкові події та є між собою незалежними, то

1)

2)

3)

4)

Приклад . До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить усіх деталей, від другого і від третього - решта деталей. Перший цех допускає в середньому 0,06 браку, другий - 0,02 і третій - 0,08.

1. Яка ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь?

2. До складального цеху надійшла стандартна деталь. Яка ймовірність того, що вона виготовлена в другому цеху?

Розв’язання. Позначимо через подію:

={до складального цеху надійшла стандартна деталь};

Подія відбувається разом з наступними подіями (гіпотезами):

={деталь надійшла від першого цеху},

={деталь надійшла від другого цеху},

={деталь надійшла від третього цеху}.

За умовою задачі:

1. За формулою повної ймовірності обчислимо ймовірність того, що до складального цеху надійшла стандартна деталь:

=

2. За умовою задачі необхідно переоцінити ймовірність гіпотези . Використовуючи формулу Байєса, маємо:

Повторні випробування за схемою Бернуллі

Приклад . В електромережу увімкнено незалежно одна від одної 500 електролампочок. Ймовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить:

1) 420 електролампочок;

2) від 390 до 420 електролампочок;

3) не більше 380 електролампочок.

Розв’язання. За умовою задачі:

, .

1) ; .

Застосуємо локальну теорему Муавра-Лапласа

де - функція Гаусса.

Значення знаходимо в таблиці значень функцій Гаусса: .

Тому

2) Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа

де , ,

а є функцією Лапласа, значення якої для певного шукаємо в таблиці.

За умовою задачі Обчислимо верхню і нижню межі інтегрування: ;

Таким чином, маємо

=0,4875+0,383=0,8705.

3) Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа