1.3 Комплексный чертеж точки (Эпюр Монжа)

Комплексный чертеж состоит из двух или более связанных между собой ортогональных проекций предмета, которые получают на взаимно перпендикулярных плоскостях.

Как уже отмечалось, при проецировании на одну плоскость проекций нельзя однозначно определить положение точки в пространстве.

Как геометрически определить положение точки в пространстве, т.е. сделать чертеж обратимым?

Эта задача впервые была решена французским ученым Гаспаром Монжем (1746 – 1818).

Гаспар Монж предложил метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости и (Рисунок 1.4).

- горизонтальная плоскость проекций;

- фронтальная плоскость проекций;

Ох – ось проекций;

и - горизонтальная и фронтальная проекции точки А.

II O

I A

III x

IY

Рисунок 1.4 – Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

Перейдем от системы двух плоскостей проекций к одной. Повернем плоскость вокруг оси Ох до совмещения с плоскостью проекций , (Рисунок 1.5).

z

х О х О

y

Рисунок 1.5 – Совмещение плоскости с . Эпюр Монжа.

Плоскости безграничны, поэтому на чертеже достаточно изобразить ось проекций и проекции точки.

; - вертикальная линия связи. На эпюре нет изображения точки, а есть изображение ее проекций.

Положение любой точки в пространстве определяется тремя ее координатами x, y, z.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости проекций , и :

х – абсцисса, у – ордината, z – аппликата, - профильная плоскость проекций, рисунок 1.6 (а) и проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (Рисунок 1.7)

а )

z

-y

II

III I O

x

IV

y

-z

б)

( ) ( ) z, (-y)

(-y)x O y

( ) ( ) (-z), y

Рисунок 1.6 – Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (I-IV октанты)

Приведенная система плоскостей проекций делит пространство на четыре области, называемых координатными углами или октантами, которые обозначают I, II, III, IV.

Расположение точки в соответствующем октанте определяют знаки ее координат.

Для получения эпюра плоскости и вращают до совмещения с плоскостью , рисунок 1.6 (б)

Построим изображение проекций точки А в I октанте (четверти), рисунок 1.7.

z z

Аz

z_A x_A

A x Ах O y

O у_А

x

Ау

y у

z

Аz

z_A

x_A

x y

y_A

Ay

y

Рисунок 1.7 – Наглядное изображение и эпюр точки А в системе трех плоскостей проекций.

Р ассмотрим расположение точек в I-IV квадрантах пространства и их проекций в системе двух плоскостей проекций на эпюре Монжа, ибо в большинстве случаев для решения задач по начертательной геометрии, вполне достаточно иметь только две проекции какого-либо геометрического элемента или образа, рисунок 1.8.

В z

х О

М у

Рисунок 1.8 – Изображение положения точек и их проекций в квадрантах

Контрольные вопросы по теме: «Предмет начертательной геометрии. Методы проецирования. Комплексный чертеж точки»

1. Что изучает предмет начертательной геометрии?

2. Какие геометрические элементы включает в себя аппарат проецирования?

3. Какие способы проецирования вы знаете?

4. Перечислите основные свойства проекций.

5. Как вы понимаете термин «прямая задача начертательной геометрии», «обратная задача начертательной геометрии», «обратимый чертеж», «необратимый чертеж»?

6. Чем достигается обратимость чертежа?

7. Какой чертеж называется комплексным?

8. Как называются и обозначаются основные плоскости проекций?

9. Что такое вертикальная линия связи? Горизонтальная линия связи?

10. Как построить горизонтальную проекцию точки, если на чертеже имеется ее фронтальная и профильная проекции?

11. Как можно построить комплексный чертеж точки по ее координатам?

12. На границе каких октантов расположена точка А (6, 0, -5)?

13. В каком октанте находится точка, если все ее координаты – отрицательные?

14. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой? Где располагаются две другие проекции этой точки?

15. Как построить фронтальную проекцию точки по данным горизонтальной и профильной проекций точки?

Линии. Комплексные чертежи прямых линий

• Линии. Прямые линии. Свойства проекций прямых.

• Проецирование отрезка прямой линии.

• Положение прямой линии относительно плоскостей проекций.

• Взаимное положение прямых линий.

• Теорема о проецировании прямого угла.

Литература

Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1985 – 288 с.

(с. 30-40)

Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1983 – 215 с.

Чекмарев А.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1988 – 335 с. (с. 17-22)

Лагерь А.И., Колесникова Э.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1985 – 176 с. (с. 28-38)

Крылов И.И. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 2001 – 224 с. (с. 20-29)

2.1 Линии. Прямые линии. Свойства проекций прямых

2.1.1 Линии среди геометрических фигур занимают особое положение. Помимо служебного применения при выполнении изображений и различных графических построений, они позволяют решать многие научные и инженерные задачи.

С помощью линий можно создать наглядные модели многих процессов, установить и исследовать функциональную зависимость между различными параметрами, конструировать поверхности технических форм и т.п.

Линию можно представить либо как границу поверхности, либо как след непрерывно движущейся в пространстве точки.

Линия – одномерный геометрический образ, имеющий одно измерение – длину.

Линии можно подразделить на кривые, ломаные и прямые.

2.1.2 Прямая есть такое множество точек, свойства которого определяются известной аксиомой прямой линии: «Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая» и теоремой, которая следует из аксиомы прямой «две различные прямые могут иметь не более одной общей точки».

2.1.3 Свойства проекций прямой линии:

• проекцией прямой линии в общем случае является прямая линия;

• для построения проекций прямой достаточно построить проекции двух ее точек;

• две проекции прямой общего положения определяют ее положение в пространстве, так как каждая точка прямой имеет две проекции.

2.2 Проецирование отрезка прямой линии

При проецировании прямой линии на какую-либо плоскость проекций, проецирующие лучи, проходящие через точки прямой, образуют проецирующую плоскость Q, которая пересекает плоскость проекций по прямой, откуда следует, что проекцией отрезка будет отрезок прямой (Рисунок 2.1).

Обычно проекция отрезка меньше самого отрезка, т.к. является частью катета прямоугольного треугольника , а отрезок АВ частью гипотенузы этого треугольника. Так как , то .

В

Рисунок 2.1

Отношение проекции отрезка к его натуральной величине называется коэффициентом искажения К, . Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то К=1, т.е. отрезок [AB] проецируется на плоскость без искажения.

Если какая-либо точка (например, D) принадлежит отрезку прямой линии, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой.