6.3. Расчет средней из интервального ряда распределения

Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения. Например, рассчитать среднюю заработную плату на одного работника на основе следующих данных:

Таблица 6.3

Заработная плата, руб. х	Численность работников, чел. f	Середины интервалов х
от ? до 4000	4	3000
от 4000 до 6000	6	5000
от 6000 до 10000	8	8000
свыше 10000 до ?	2	12000

Для расчета средней заработной платы используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

Но варианты в виде интервалов невозможно подставить в формулу. Поэтому вначале определяем середину каждого интервала, т. е. групповые средние величины, используя среднюю арифметическую простую

.

- второй интервал

- третий интервал

Первый и последний интервал открыты, поэтому их надо «закрыть», т.е. восстановить отсутствующие границы.

Условно считают, что величина первого интервала равна величине следующего, т.е. второго интервала. Величина второго интервала равна 2000 (6000 - 4000), тогда нижняя граница первого интервала равна 2000 (4000 -2000), а его середина - 3000 ( ).

Для определения верхней границы последнего интервала условно считают, что величина последнего интервала равна величине предыдущего. Величина предыдущего интервала равна 4000 (10000 - 6000), тогда верхняя граница последнего интервала равна 14000 (10000 + 4000), а его середина 12000 ( ).

Тогда средняя заработная плата составит

6.4. Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами. Рассмотрим те свойства, которые упрощают расчеты.

1. Сумма отклонений вариант от их средней равна нулю:

Это свойство может быть использовано для контроля правильности вычисления средней: если средняя вычислена правильно, то сумма отклонений должна равняться нулю.

Например: рассчитать среднюю заработную плату одного работника на основе следующих данных.

Таблица 6.4

Заработная плата, руб. Х	Численность работников, чел., f
2000	6
3500	12
5500	18

Проверка:

(2000-4250)6+(3500-4250)12+(5500-4250)18=0

2. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.

Так, если заработную плату уменьшим на1500, то и средняя уменьшится на 1500 рублей.

3.Если все варианты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя тоже уменьшится или увеличится в А раз.

Так, если варианты уменьшим в 100 раз, то и средняя уменьшится

в 100 раз.

4.Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя от этого не изменится.

Так, если частоты уменьшим в 6 раз, то средняя не изменится.