3.4.Спектры простейших периодических сигналов

3.4.1.Прямоугольное колебание - меандр

Рис. 3.1. Меандр с четной симметрией

Рис. 3.2. Меандр с нечетной симметрией

Соответствующим выбором начала отсчета времени меандр можно представить в виде четной (Рис. 3 .1) или нечетной (Рис. 3 .2) функции.

Для нечетной функции применяя формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found находим при s(t)=e(t):

Учитывая, что T₁=2, получаем:

Начальные фазы _n в соответствии с Error: Reference source not found, равны -2 для всех гармоник.

На Рис. 3 .3 показаны коэффициенты комплексного, а на Рис. 3 .4 тригонометрического ряда Фурье для меандра единичной амплитуды (Е=1).

В тригонометрической форме ряд Фурье:

(3.37)

Рис. 3.3. Комплексный ряд Фурье, E=1

Рис. 3.4. Тригонометрический ряд Фурье, E=1

При отсчете времени от середины импульса, функция является четной относительно t и ряд для нее содержит только косинусные члены:

(3.38)

Для конечной суммы ряда, с увеличением числа суммируемых гармоник, сумма ряда приближается к функции e(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуются выбросы. При n величина этого выброса равна 1.18Е, то есть сумма ряда отличается от заданной функции на 18%.

Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса в честь Дж. Уилларда Гиббса. Открытие этого эффекта не принадлежит Гиббсу, однако он первый «разрекламировал» этот эффект. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции e(t) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при n выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл Error: Reference source not found.

На Рис. 3 .5 представлено формирование меандра суммой 1-ой и 3-ей гармоник, а на Рис. 3 .6 - сумма 1-ой, 3-ей и 5-ой гармоник.

Рис. 3.5. Сумма 1^ой и 3^ей гармоник

Рис. 3.6. Сумма 1,3 и 5^ой гармоник

Вычисление интеграла:

3.4.2. Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 3.7. Пилообразное колебание

Подобные сигналы наиболее часто используются в устройствах развертки изображения - в осциллографах, мониторах, телевизорах, широтно-импульсных модуляторах, аналого-цифровых преобразователях, и пр.

Получить такое колебание можно заряжая конденсатор источником стабильного тока, завершая период цепью сброса (разряда) на аналоговых ключах. Достаточно просто синтезировать пилообразное колебание при помощи ЦАП и двоичных счетчиков, обеспечивающих линейное нарастание цифрового кода. Иногда близкую форму получают с помощью RC-цепи, используя пологий участок экспоненциального процесса заряда емкости.

Представленная на Рис. 3 .7 функция является нечетной, поэтому ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены.

По формулам Error: Reference source not found...Error: Reference source not found нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская выкладки, напишем результат:

(3.39)

Заметим, что амплитуды гармоник убывают обратно пропорционально частоте - по закону 1/n, где n=1,2,3,... – целые числа.

Восстановление пилообразного колебания пятью первыми гармониками показано на Рис. 3 .8.

Рис. 3.8. Восстановление пилообразного колебания 5^-ю гармониками