Уравнение Шредингера. Волновая функция

Состояние микрочастицы в квантовой механике характеризуется так называемой волновой функцией, обозначаемой буквой  (пси). Вид этой функции получается из решения уравнения Шредингера, которое выглядит следующим образом:

. (26)

Здесь m - масса частицы, U – ее потенциальная энергия, i – мнимая единица,

 – оператор Лапласа,  = (x,y,z,t) – функция координат и времени.

. (27)

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. U не зависит явно от времени, то уравнение (26) переходит в более простое уравнение Шредингера для стационарных состояний:

. (28)

Здесь  = (x,y,z) – функция координат.

Решения данного уравнения и рассматривает квантовая механика.

Правильную интерпретацию смысла волновой функции дал М. Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

. (29)

В соответствии с этим для волновой функции должно выполняться условие нормировки

. (30)

В соответствии со своим смыслом волновая функция должна быть однозначной, конечной, непрерывной и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность этих требований носит название стандартных условий.

Уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, лишь при некоторых избранных значениях параметра Е (т.е. энергии). Эти избранные значения называются собственными значениями энергии. Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями частицы. Совокупность собственных значений называется энергетическим спектром. Он может быть дискретным или сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

E₁, E₂, ... E_n, ...; (31)

₁, ₂, ... _n, ... .

Нахождение собственных значений энергии и собственных функций частиц является основной задачей квантовой механики.

Применение уравнения Шредингера

U=

U=

0

l

x

Рис. 3

а) Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х и ее движение ограничено непроницаемыми стенками в точках х = 0 и х = l.

Зависимость потенциальной энергии от координат имеет в этом случае следующий вид (рис. 3):

(32)

Поскольку волновая функция в данном случае зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:

. (33)

Рис. 4

Решая уравнение (6.33) с использованием стандартных условий, можно получить собственные значения энергии частицы:

(34)

Энергетический спектр, как следует из (34), является дискретным. При этом расстояние между соседними энергетическими уровнями не является постоянным, а увеличивается с увеличением номера энергетического уровня. Нормированные собственные функции частицы в этом случае имеют вид

Рис. 5

Графики этих функций показаны на рис. 4.

На рис. 5 дана зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от координаты x на различных расстояниях от стенок ямы, равная ^*.

б) Прохождение частиц через потенциальный барьер

E

U₀

U

0

l

x

Рис. 6

Пусть частица с энергией Е, движущаяся слева направо вдоль оси х, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l (рис. 6). Из решения уравнения Шредингера в этом случае вытекает, что, во-первых, даже при Е> U₀

имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера. Во-вторых, при Е<U₀ имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > l. Вероятность прохождения частицы через барьер может быть названа коэффициентом прозрачности D. Расчеты показывают, что в данном случае

. (36)

Рис. 7

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 7) формула (36) должна быть заменена более общей формулой

, (37)

где U = U(x).

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (рис. 7), в связи с чем это явление называют туннельным эффектом.