1. Теоретические основы.

1.1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид:

, где ( ), – числа.

Система вида

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…, x_n .

Числа а_ij называются коэффициентами системы, а числа b_i – свободными членами.

Решением системы называется совокупность чисел x₁, x_{2, … ,} x_n, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, не имеющая решений – несовместной.

В матричной форме СЛАУ можно записать: A*Х = В, где

– матрица коэффициентов,

– столбец (вектор-столбец) свободных членов,

– столбец (вектор-столбец) неизвестных членов.

Применяемые в настоящее время методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные и приближенные.

Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), приводят к точным значениям неизвестных x_i. Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относятся, например, метод Гаусса, метод квадратных корней и др.

Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x₁, x₂, …, x_n) лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и др.

Рассмотрим некоторые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…,x_n:

Основная матрица такой системы является квадратной.

Решение СЛАУ по формулам Крамера сводится к следующему алгоритму:

1. Составить и вычислить определитель матрицы – определитель, составленный из коэффициентов уравнений системы:

2. Составить и вычислить определители Δ_k - определители, полученные заменой в определителе Δ столбца из коэффициентов при неизвестной x_k столбцом свободных членов системы:

,

где k – одно из чисел 1,2,…,n.

3. Если , то система называется невырожденной. Имеет единственное решение, которое ищется с помощью формул Крамера:

, , …,

Если и , то система решений не имеет.

Если и , то система имеет множество решений.

1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…,x_n:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.