Розділ іі. Гідродинаміка

5. Тема: Рівняння д. Бернуллі для реальної рідини. Розкриття змісту рівняння.

Методичні вказівки

1. Повна питома енергія елементарної струмки

де - питома кінетична енергія,

- питома потенціальна енергія тиску та положення.

2. Рівняння Д.Бернуллі для потоку рідини

де α – коефіцієнт Коріоліса – коректив кінетичної енергії,

hw – витрати напору

3. Гідравлічне тлумачення рівняння Бернуллі:

швидкісний напір

Р/γ - п‘єзометрічна висота

Z – висота положення

Гідродінамічний напір

Hd =

4. Геометрічне тлумачення рівняння Бернуллі:

- середній п‘єзометрічний уклон

i = (Hd₁ – Hd₂) / l – середній гідравлічний уклон

i – hw / l

5. Енергетичний зміст рівняння Бернуллі.

- питома кінетична енергія

- питома потенціальна енергія

6. Практичне застосування рівняння Бернуллі – водомірний пристрій – водомір Вентурі. Для того, щоб визначити витрати в трубі, необхідно визначити різницю рівней води в п‘єзометрах та підставити в формулу

, де М – коефіціент витрати водоміра.

Питання для самоперевірки.

1. З чого складається повна питома енергія потоку рідини?

2. Рівняння Д.Бернуллі для потоку рідини. Який зміст рівняння?

3. Яке значення коефіцієнту Корісліса?

4. Що називається гідродінамічним напором?

5. Як визначити швидкістний напір?

6. Що має назву п‘єзометричного та гідравлічного уклону?

7. Назовіть витрати напору. Формули визначення витрат напору.

Тема. Експериментальна перевірка рівняння Бернуллі.

Мал. І

(1)

Рівняння (І) і є рівняння Д.Бернуллі для елементарної цівки реальної рідини при сталому русі, який встановлює зв’язок між швидкістю руху, тиском в рідини і положенням точки в просторі. Воно справедливе для будь-яких двох перетинів, оскільки перетини 1-1 і 2-2 були узяті довільно. Рівняння (1) можна зобразити і графічно (мал. І). Якщо з’єднати рівні рідини в п’єзометрах, приєднаних до декількох перетинів, отримаємо деяку лінію р-р, яка називається п’єзометричною лінією і показує зміну питомої потенційній енергії по довжині елементарної цівки. Якщо з’єднати точки, які в кожному перетині по вертикалі зображають повну питому енергію (а такі точки дійсно можна отримати, про що див.нижче), отримаємо деяку лінію N-N, яка називається напірною лінією або лінією енергії; вона показує зміну повної питомої енергії по довжині цівки. Тоді відстань по вертикалі в будь-якому перетині між горизонтальною площиною І-І, відповідає початковому запасу питомої енергії в першому перетині, і напірною лінією N-N дає величину втрат енергії hw на подолання сил опору на ділянці від першого перетину до даного перетину, а відстань між напірною і п’єзометричною лініями – питому кінетичну енергію в даному перетині u/2g.

Для ідеальної рідини, де відсутні сили тертя, в рівнянні (1) hw = 0, і рівняння Бернуллі приймає вигляд

(2)

Але оскільки перетини 1-1 і 2-2 узяті довільно, то в загальному вигляді рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини записується так:

(3)

Розберемо застосування рівняння Д.Бернуллі на прикладі простого водомірного пристрою в трубах водоміра Вентурі (мал. 2); він є вставкою в основну трубу діаметром D труби меншего діаметру d, яка сполучена з основною трубою конічними переходами. У основній трубі (перетин 1-1) і в звуженому перетині (перетин 2-2) приєднані п’єзометри, за показниками яких можна визначити витрату рідини в трубі Q.

Мал.2

Виведемо загальну формулу водоміра для визначення витрати рідини в трубі. Складемо рівняння Бернуллі для точок, розташованих в центрі тяжіння перетинів 1-1 (перед звуженням) і 2-2 (у горловині), прийнявши площину порівняння по осі труби о-о. Для наших умов z₁ = z₂ = 0, α₁ = α₂ = α = 1. Втрати натиску в звуженні зважаючи на трохи відстані між перетинами вважаємо рівними нулю, тобто hw=0.

Тоді рівняння Д.Бернуллі запишеться так:

або

Проте з мал. 2

,

тому

(а)

У рівняння (а) дві невідомі величини v₁ і v₂. Складемо друге рівняння, використовуючи рівняння нерозривності

v₂ / v₁ = ω₁ / ω₂ = D² / d²,

Звідки

v₂ = v₁ ( D² / d²).

Підставляючи v₂ в рівняння (а), отримаємо

Звідси швидкість течії в основній трубі (перетин 1-1) дорівнює

а витрата рідини в трубі по формулі Q = v₁w₂

або

Позначимо постійну величину для даного водоміра через К.

Тоді (4)

Проте при виведенні цієї формули не враховувалися втрати натиску у водомірі, які насправді будуть. З урахуванням втрат натиску формула витрати водоміра Вентурі запишеться так:

(5)

де μ – коефіцієнт витрати водоміра, що враховує втрати натиску у водомірі. Для нових водомірі μ = 0,985; для водомірів, тих що були у використанні, μ = 0,98.

Таким чином, для визначення витрати в трубі досить заміряти різницю рівнів води в п’єзометрах і підставити її значення у формулу (5).