18. Определение напряжений на произвольных площадках. Круг Мора.

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней − l = cos (x, v), m = cos (y, v), n = cos (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. .Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dFx , dFy , dFz , соответственно будем иметь:

dFx = dF⋅l; dFy = dF⋅m; dFz = dF⋅n. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = σx ⋅ l + τyx ⋅ m + τzx ⋅ n;

Y = τyx ⋅ l + σy ⋅ m + τzy ⋅n; (10.4)

Z = τzx ⋅ l + τzy ⋅ m + σz ⋅n.

Выразим нормальное напряжение σv на наклонной площадке через X, Y, Z:

σv = X ⋅ l + Y ⋅ m + Z ⋅ n . (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

σv = σx ⋅l 2 + σy ⋅m 2 + σz ⋅n 2 + 2 τyz⋅m⋅n + 2 τzx⋅n⋅l + 2 τxy⋅l⋅m .

Круг Мора — это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений.

Уравнения круга Мора:

19.Закон парности касательных напряжений.

Элементарный параллелепипед должен находиться в равновесии (он не должен вращаться вокруг оси x, проходящей через точку К) (см. рис. 6.3), поэтому суммарный момент всех сил, возникающих по граням относительно этой оси должен быть равным нулю:

В формуле условии равновесия параллельного параллелепипеда в скобки заключены соответствующие силы, выраженные через касательные и нормальные напряжения, а их плечи указаны за скобками. После элементарных упрощений этого выражения, получим закон парности касательных напряжений:

Формулировка закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные по перпендикуляру к линии пересечения площадок, равны по величине, притом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.

20. Сложное сопротивление. Понятие о теориях прочности.

Сложное сопротивление — случаи одновременного действия двух или более простейших видов деформаций стержня: растяжения-Сжатия, кручения и изгиба. При малых упругих деформациях расчеты стержней на сложное сопротивление выполняются на основе принципа независимости действия сил.

В сооружениях из бетона, каменной и кирпичной кладки и т. п. обычно не допускают растягивающих напряжений. Это требование выполняется при условии, когда сила N (рис. 2) является сжимающей и линия ее действия не выходит за пределы ядра сечения, граница к-рого определяется как геометрич. место центров давления, отвечающих касаниям нейтральной линии контура сечения.

Касательные напряжения от крутящего момента Мх вычисляются по формулам, полученным для кручения, а от поперечных сил Qy и Qz — по формулам Д. И. Журавского (см. Изгиб); напряжения от Qv и Qz, как правило, значит, меньше напряжений от кручения, поэтому при расчетах ими обычно пренебрегают.

Проверка прочности материала стержня производится на основе той или иной теории прочности, в тех точках контура сечения, где получается наиболее неблагоприятное сочетание норм, и касательных напряжений (прежде всего там, где возникают максим, норм, или касательные напряжения).

В общем случае сложного сопротивления изогнутая ось стержня является пространственной кривой. Так как плоскость, касательная к изогнутой оси стержня в данном сечении, перпендикулярна вектору полной кривизны, то она всегда перпендикулярна нейтральной линии; направление же перемещения центра тяжести сечения перпендикулярно нейтральной линии только при изгибе в одной плоскости, в последнем случае изогнутая ось стержня является плоской кривой.

Поведение стержня, работающего в условиях сложного сопротивления за пределом упругости материала, изучено в теории пластичности лишь для частных случаев С. с. (косой изгиб, изгиб с растяжением или сжатием, внецентренное растяжение или сжатие) в предположении идеальной пластичности материала и относится к области расчетов по предельному состоянию.

Понятия о гипотезе прочности, об эквивалентном напряжении, о предельных напряженных состояниях. Пять теорий прочности.  

Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в создании теорий прочности, на основе которых можно проверить прочность элементов в сложном напряжённом состоянии, исходя из прочностных характеристик. Существует ряд теорий прочности; в каждом отдельном случае пользуются той из них, которая в наибольшей степени отвечает характеру нагружения и разрушения материала.

В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

Первая теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

 или   

Данная теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Вторая теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).

Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

 

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд недостатков, поэтому она почти не применяется для расчетов.

Третья теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

 или  .

Или

 

Во многих случаях третья теория прочности дает приемлемые результаты.

Четвертая теория прочности (гипотеза энергии формоизменения).

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения:

 

Пятая теория прочности (гипотеза прочности Мора).Данная гипотеза прочности учитывает различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид: