14.2)(Аналогичная теория, просто в дополнение)

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров

Пример 1.

1) Однопролетная балка находится под действием сосредоточенной силы Р (рис. а).

2) Однопролетная балка находится под действием сосредоточенного момента в опоре (рис. б).

Для обеих балок найти дифференциальное уравнение изгиба и найти максимальные прогибы и углы поворота методом начальных параметров.

а) б)

 

Решение.

1) Опор­ные реакции . Балка имеет два участка с различными выражениями для изгибающих моментов:

(1)

В этом случае дифференциальные уравнения изгиба на каждом из участков име­ют различный вид:

(2)

Интегрирование этих уравнений приведет к выражениям для прогибов v₁, v₂, которые будут содержать четыре постоянные интегрирования. Для их определения нужно составить четыре граничных условия. Это вызовет определенные трудности при решении данной задачи. Метод начальных параметров существенно упрощает решение задачи по определению прогибов балки.

Составим выражения прогибов для каждого из участков, пользуясь формулой:

(3)

(4)

Начальные параметры определяем из граничных условий:

(5)

Подставляя в (3) и в (4), согласно (5), находим:

(6)

откуда получаем:

(7)

Подставляя значения в (3), (4), получим выражения прогибов на каждом из двух участков. Максимальный прогиб находим из (3) либо (4) при . В результате вычислений находим:

(8)

Угол поворота на втором участке:

На правой опоре В при z =l получаем:

2) В данном примере опорные реакции Прогибы балки в произвольном сечении:

(1)

или, с учетом ,

(2)

Угол поворота находим дифференцированием (2):

(3)

При z = 0 на левой опоре А имеем v = 0, что позволяет найти

На правой опоре В при z = прогиб v = 0, т.е.

откуда

(4)

На опоре В при z = угол поворота, согласно (3), равен:

(5)

15. Геометрические характеристики поперечных сечений Главные центральные оси инерции.

1. Некоторые сведения о геометрических характеристиках

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), опреде- ляющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как след- ствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам дефор- мации).

Рассмотрим произвольное поперечное сечение A (сечение бруса) с координатами центра тяжести z_c, y_c. В точке (z, y) выделим элемент площади dA. Основные геометрические характеристики попе- речных сечений элементов конструкций (в том числе и данного сечения) описываются интегра- лами следующего вида

_y^m zⁿ dA.

A

Рассмотрим некоторые характерные варианты записи этого интеграла и получим выраже- ния для основных геометрических характеристик.

Площадь поперечного сечения

При m=0, n=0 интеграл приобретает вид

_dA A ,

A

а соответствующая характеристика, как видим, представляет собой площадь поперечного сечения элемента.

Оказывается, что во многих случаях деформирования тела знание только площади его по- перечного сечения недостаточно.

Статические моменты

Если m=1, n=0, тогда получим характеристику

_y dA S_z ,

A

которая называется статическим моментом относительно оси z,

или, при m=0, n=1,

_z dA S_y A

статическим моментом относительно оси

Статический момент относительно данной оси – сумма произведений эле- ментарных площадей dA на их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следу- ет, что

S_z _y dA y_c A,

S_y _z dA z_c A ,

A A

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из кото-

рых имеет площадь A_i и координаты собственного центра тяжести

y , z )

c

с

i i

S_z _

y_ci

A ,

i

S_y 

^zc_i

• A .

i

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Отсюда можем получить формулы для определения координат центра тяже- сти сечения:

y ^Sz

_y_ci A_{i ,}

S

z  ^y

_z_ci A_{i .}

c c

A _A_i

A _A_i

Как видим, относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, статические моменты равны нулю, а сами эти оси называются центральными.

Размерность статических моментов – м³ в системе СИ.

Осевые моменты инерции

Если m=2, n=0, тогда получим характеристику

z

_y² dA J ,

A

которая называется осевым моментом инерции относительно оси z,

или, при m=0, n=2,

y

_z² dA J –

A

осевым моментом инерции относительно оси y.

Осевой момент инерции относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

Центробежный момент инерции

Если m=1, n=1, тогда получим характеристику

_z y dA J_zy ,

A

которая называется центробежным моментом инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма про- изведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть полу- чены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции J_p называют характеристику

J _p J_z J _y .

С другой стороны,

J J J 

y² dA 

z² dA 

_y² z² _dA  ² dA.

p z y

   

A A A A

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведе- ний элементарных площадей dA на квадраты их расстояний ( ² y² z² ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Размерность моментов инерции – м⁴ в СИ.

Момент сопротивления

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо- менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y_max или z_max) до наиболее удаленной от этой оси точки

W ^Jz

J

; W  ^y .

y

z y

max

Размерность моментов сопротивления – м³ в СИ.

^zmax

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи- на, определяемая из соотношения:

i_z 

J_{z ,}

A

i_y  .

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой не- которую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E. В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E=E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения

характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сече- ния, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида

_E _z, y _y^m zⁿ dA .

A

2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштри- хован) равна dA=b·dy. Подставляя значение dA в первую формулу, получим

h /2

_y³ h /2

b h³

z

J _y² dA _

y² b dy b   .

A

По аналогии запишем

h /2 ³

h b³

h /2 ¹²

J _y  .

12

Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других про- стых фигур.

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции J_p. Затем, учитывая, что для круга J_z=J_y, а J_p=J_z+J_y, найдем J_z=J_y=J_p/2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dи

радиусом ; площадь такого кольца

dA 2 d. Подста-

вляя выражение для dA в выражение для J_p и интегрируя, получим

D /2

_⁴ D /2

D⁴

p

J _² dA _² 2 d2   ,

тогда

_{A 0} 4 ₀ 32

p

^J D⁴

J_z J _y   .

2 64

3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно цен- тральных осей z и y:

J_z _

A

y² dA ;

J _y 

_z² dA ;

A

^Jzy

_z y dA .

A

Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z₁ и y₁, па- раллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:

z _1

J  y ²

1

A

• dA ;

J  z ²

y _1

1

A

• dA ;

J _{z y}  z y dA.

1 1 ^{1 1}

A

Координаты любой точки в «новой» системе координат z₁0₁y₁ можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:

z₁ z b ; y₁ y a .

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

J_z1

_y² dA 

_y a _² dA _

y² dA 2 a _

y dA a² _

dA ,

1

A A A A A

J_z1

J_z 2 a S_z

a² A .

Так как оси z и y – центральные, то S_z=0.

Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном пере- носе осей:

2

2

1

1

J_z J_z a J _y J _y b

• A;

• A ;

1 1

J _{y z} J _yz a b A.

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе ко- ординат z₁0₁y₁).

4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произволь- ного сечения относительно центральных осей z, y:

J_z 

_y² dA ;

A

J _y 

_z² dA ;

A

^Jzy

_z y dA .

A

Повернем оси z, y на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом на- правлении положительным.

Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z₁ и y₁:

z _1

J  y ²

1

A

• dA ;

J  z ²

y _1

1

A

• dA ;

J _{z y}  z y dA.

1 1 ^{1 1}

A

Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z₁0y₁

можно выразить через координаты в «старых» осях так:

z₁ OC OE AD z cos y sin ;

y₁ BC BD EA y cos z sin .

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

J_z1

_y² dA 

_y cos z sin _² dA 

1

A A

cos² _y² dA 2 sin cos_z y dA sin² _z² dA 

A A A

J cos² J

sin² J

sin 2.

z y zy

Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:

J J

cos² J

sin² J

sin 2; (2.1)

z₁ z y zy

J J

cos² J

sin² J

sin 2; (2.2)

y₁ y z zy

^J z₁ y₁

J J

 ^{z y} sin 2J

₂ zy

cos 2. (2.3)

Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим

1 1

J_z J _y J_z J _y J _p ,

т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, не- изменная при повороте координатных осей).

5. Главные оси и главные моменты инерции

До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной сис- теме координат, однако наибольший практический интерес представляет система коорди- нат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характери- стик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Вве- дем понятия: главные оси и главные моменты инерции.

Главные оси – две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инер- ции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются глав - ными централ ь ными осями .

Моменты инерции относительно главных осей называются главными момен- тами инерции.

Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v; главные момен- ты инерции – J_u и J_v (по определению J_uv=0).

Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и ве- личину главных моментов инерции. Зная, что J_uv=0, воспользуемся уравнени- ем (2.3):

Отсюда

J_uv=

J_z J _y

2

sin 2₀ J_zy cos 2₀ 0 .

2 J_zy

tg 2₀ 

J_z J _y

. (2.4)

Угол ₀ определяет положение главных осей относительно любых централь- ных осей z и y. Угол ₀ откладывается между осью z и осью u и считается по- ложительным в направлении против часовой стрелки.

Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центро- бежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.

Исключая угол в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим фор- мулы для определения главных осевых моментов инерции:

J J ₁

J  ^{z y} 

_J J

_² 4 J ² .

max

min

_{2 2} z y yz

Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значе- ние.