13)Определение перемещений при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y /=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y /. В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h, а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ=y /. Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y //были приняты независимо друг от друга, получаем

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y /) 2 =0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y //. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y //и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y //и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус. Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений а после второго интегрирования – прогибы балки Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

14)Определение перемещений при изгибе. Метод начальных параметров

1 4.1)Метод начальных параметров. Начало координат выбирают в крайней левой точке. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии "а" от начала координат, его умножают на множитель (х — а)⁰, который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления. Для рис.:

EJ = M(x) = R_Ax – – M(x – a)⁰ + – P(x – a – b); интегрируем:

EJ = EJ₀ + R_A – – M(x – a) + – P ;

EJy =EJy₀ + EJ₀x + R_A – – M + – P .

Начальные параметры — то, что мы имеем в начале координат, т.е. для рис.: М₀=0, Q₀=R_A, прогиб y₀=0, угол поворота ₀0. ₀ находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.