24. Число степеней свободы и класс механизма.
|
В строении самых различных механизмов существуют общие закономерности, связывающие число степеней свободы механизма с числом звеньев и числом и видом кинематических пар в составе механизма.
Обозначим через n число подвижных звеньев механизма. Число одно-, двух-, трёх-, четырёх- и пятиподвижных кинематических пар обозначим через p1 , p2 , p3 , p4и p5, соответственно. Шесть степеней свободы твёрдого тела в пространстве можно рассматривать как шесть независимых координат, определяющих его положение (например, три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющие расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной). Если все подвижные звенья механизма были бы свободными телами, то общее число степеней свободы такой системы было бы равно W = 6× n. Однако каждая одно- подвижная пара налагает на относительное движение звеньев, образующих пару, 5 связей, каждая двухподвижная - 4 связи, каждая трёхподвижная - 3 связи и т.д. Следовательно, число степеней свободы пространственного механизма определяется формулой
W = 6n - (5p1 + 4p2 +3p3 +2p4 +p5). (2.1)
Формула (2.1) называется структурной формулой Малышева для пространственных механизмов без избыточных связей.
В механизмах широкое применение нашли плоские кинематические цепи, которые содержат только одно- и двухподвижные кинематические пары. Пары с большим числом степеней свободы тоже могут входить в плоские цепи, но при этом каждая из них будет работать как одно- или двухподвижная.
Для плоских механизмов число степеней свободы определяется формулой Чебышева:
W = 3n - 2p1 - p2, (2.2)
где n - число подвижных звеньев механизма,
p1и p2- число одно- и двухподвижных кинематических пар механизма.
Вывод формулы Чебышева аналогичен выводу формулы Малышева.
Число степеней свободы механизма показывает, сколько входных звеньев имеет данный механизм.
В практике широко применяются плоские механизмы с одной степенью свободы и значительно реже - с двумя и более.
Рассмотрим примеры определения числа степеней свободы механизмов.
Класс механизма
Класс механизма определяется наивысшим классом групп Ассура, входящих в его состав.
На рисунках 8…9 приведены примеры схематического изображения групп Ассура различных классов. Пунктирными линиями изображены звенья механизма, к которым присоединяется данная группа (они не входят в состав группы).
Как было отмечено выше, простейшие группы, включающие в свой состав два звена и три кинематические пары пятого класса, относятся к группам Ассура II класса (по И.И. Артоболевскому). Все они имеют два свободных элемента кинематических, которыми присоединяются к другим звеньям механизма (на рисунке 8 – это элементы А и С), поэтому одновременно являются группами второго порядка (в связи с этим обычно о порядке групп Ассура второго класса не говорят).
Группа Ассура второго класса, имеющая в своем составе все три вращательные пары (шарниры), условно отнесена к группе первого вида. Последующие виды образуются последовательным замещением вращательных пар поступательными («ползунами»).
Заменой одной крайней вращательной пары поступательной парой образуется группа второго вида.
Замена среднего шарнира на поступательную пару образует группу третьего вида.
Группа четвертого вида получается при замене двух крайних вращательных пар на поступательные и, наконец, заменой одной крайней вращательной пары и средней пары на поступательные формируется группа пятого вида.
Для лучшего запоминания и определения вида группы при структурном анализе механизмов можно воспользоваться аббревиатурой пар, входящих в ее состав: ВВВ (вращательная-вращательная-вращательная) – группа 1 вида; ВВП (вращательная-вращательная-поступательная) – группа 2 вида; ВПВ – группа 3 вида; ПВП – группа 4 вида; ВПП – группа 5 вида.
На рисунке 8 представлены группы второго класса всех пяти видов. В верхнем ряду группы изображены в самом общем случае. Однако на практике многие размеры задаются таким образом, что конфигурация групп значительно трансформируется. Поэтому для лучшей ориентации в таблице приведены некоторые частные случаи, которые могут встретиться при анализе механизмов.
На рисунке 9 представлены примеры структурных групп более высоких классов. На рисунке представлены группы только с вращательными парами, что облегчает понимание класса и порядка групп Ассура. На самом деле в любом месте группы вместо вращательной пары может быть поставлена поступательная, что принципиально не меняет сути классификации.
Ценность структурной классификации механизмов заключается в том, что группы Ассура обладают постоянными свойствами, независимо от того в каком механизме они находятся, в какой сфере жизнедеятельности применяется данный механизм.
Это дает возможность иметь универсальные методы исследования любых механизмов через разработку методов исследования отдельных групп Ассура. Таким образом, установив класс механизма, фактически определяют порядок анализа и методы решения задач, связанных с его работой.