10. Работа. Мощность. Кинетическая энергия.

(4.1)

(4.2)

Мощность

Величина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью Мощность численно равна отношению к промежутку времени за который она совершается.

или в общем случае

,

Подставляя значение получим

Кинетическая энергия.

Рассмотрим случай, когда материальная точка движется из точки 1 в точку 2 под действием приложенных к ней сил (рис.4.4.)

Причем силы, действующие на материальную точку, могут иметь разную природу, т.е. могут быть консервативными и неконсервативными. Уравнение движения в этом случае запишется в виде

где Перепишем (4.6) в виде

Умножим скалярно уравнение (4.7) на и проинтегрируем от точки1 до точки 2, получим:

Учитываем то, что , и интеграл в правой части выражения (4.8) представляет собой работу всех сил, на участке 1-2, можно записать:

величина

называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка вследствие своего движения.

Из полученного выражения (4.9) следует, что работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2 равна изменению ее кинетической энергии на этом участке.

11. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа. Для поднятия тела массой m на высоту необходимо совершить работу против сил тяготения Р:

,

знак минус перед интегралом, т.к. сила Р направлена в сторону противоположную изменению h.

Проинтегрируем это выражение:

Эта энергия пойдет на увеличение энергии замкнутой системы тело-Земля т.е. численно равна

Считая поверхности Земли , получим

Эта энергия системы тело - Земля и является потенциальной энергиейтела, поднятого на высоту h:

12. Закон сохранения энергии

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h. При этом его потенциальная энергия

Тело начало свободно падать . Из кинематики известно, что момент достижения поверхности земли оно будет иметь скорость и кинетическую энергию:

Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты h, оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно:

На поверхности Земли h=0 и потенциальная энергия , а -максимальна. В начале падения , а т.е. потенциальная энергия переходит (превращается) в кинетическую. Таким образом, при падении тела в системе тело-Земля кинетическая энергия возрастает и, следовательно, ее изменение равное работе , имеет положительный знак, т.е.

Потенциальная энергия - уменьшается, и, следовательно, ее изменение имеет знак минус. Поэтому можем записать:

Сложив (4.12) и (4.13), получим

или

Сумма представляет собой полную энергию, и, следовательно,

, а

Таким образом, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех, происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.

13. Потенциальная энергия деформации

Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где — коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения  до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа  равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:

.

Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины

Такое же выражение получается для сжатой пружины.

В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив  на , где  — упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим  выражение

,                                                                        

которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.

Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.

(4.3)