41. Последовательность.

Последовательность —это числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел или на множестве первых натуральных чисел. функция одного натурального переменного, обладающая следующим свойством: каково бы ни было принадлежащее области определения функции натуральное число , любое удовлетворяющее условию натуральное число также принадлежит области определения функции . Числовая последовательность определена, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставиться в соответствие действительное число .Способ задания: 1) Числовая последовательность может быть определена заданием ее -го члена формулой, позволяющей найти любой член последовательности простой подстановкой номера искомого члена в эту формулу. Такой способ задания последовательности называется явным. 2)Закон образования числовой последовательности может состоять в задании нескольких первых членов последовательности и рекуррентной формулы, с помощью которой каждый следующий член выражается через предыдущий. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным. 3) Числовая последовательность называется возрастающей, если в ней каждый следующий член больше предыдущего. 4)Числовая последовательность называется убывающей, если в ней каждый следующий член меньше предыдущего. 5) Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое натуральное число , что для любого натурального .

42. Единственность предела последовательности.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел — одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов: ;

Если пространство хаусдорфово (в частности, если оно метрическое), то у каждой последовательности существует не более одного предела. Предположим, что имеется как минимум два разных предела, x и y. Возьмём их непересекающиеся окрестности: по определению предела, все элементы последовательности с достаточно большими номерами будут содержаться только в одной из них — значит, предположение о двух пределах неверно. Верно обратное: если пространство нехаусдорфово, то существуют последовательности с более чем одним пределом.

43. Сходящиеся последовательности.

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве. Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей: 1) Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю. 2)Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности. 3) Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел. 4)Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится. 5)Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной. 6) Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. 7)Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. 8)Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. 9)Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность. 10)Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела. 11)Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. 12)Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй. 13)Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу. 14)Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.

44. Бесконечно малые последовательности. Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности. Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах: 1) Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 2)Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 3)Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью. 4)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность. 5)Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 6)Любая бесконечно малая последовательность ограничена. 7)Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю. 8)Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули. 9)Если — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой. 10) Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

45. Теорема о пределах суммы, произведении и частного последовательностей. Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то: а) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный a b, т. е. Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых. б) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный ab, т. е.

 Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей. Постоянный множитель можно выносить за знак предела при любом постоянном k. с) Последовательность имеет предел равный , т. е. при условии, что все y_n не равны нулю и .

46. Монотонные последовательности. Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка. Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей. Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей. Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной. Промежутки монотонности: Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона (здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности. Свойства: а) Ограниченность: 1)Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу. 2)Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху. 3)Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны. б) Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон: 1)Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом. 2)Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

47. Теорема о вложенных отрезках.

Теорема: Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезков этой последовательности. Замечание: Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например, Доказательство: 1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {a_n} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {b_n}, поскольку . В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть в частности Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы. 2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы: Тогда для всех номеров n выполняются неравенства: . В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство Взяв в этом неравенстве , получим