4.2.6. Диференціювання складеної функції.

Теорема. Нехай на множині D визначено складену функцію , де , , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складена функція диференційовна в точці , причому

	(4.16)
	(4.17)

Доведення. За умовою теореми функції і мають неперервні частинні похідні в деякому околі точки . Тому за теоремою вони диференційовні в точці :

де , , , при , .

Надавши приростів лише аргументу х, дістанемо

(4.18)

де , при ,

Знайдемо приріст функції за х. За умовою теореми функція має неперервні частинні похідні в деякому околі точки , а тому вона диференційовна в цій точці:

(4.19)

Підставляючи у (4.19) рівності (4.18), дістаємо:

де

‑

нескінченно мала величина при .

Тоді

.

Диференційовність функції випливає з неперервності частинних похідних і .

З найти і для функції , якщо

Розв’язування. За формулами (4.16) і (4.17) маємо:

;

.

З найти повний диференціал функції , якщо , ,

^{Розв’язування.} Дістаємо:

.

4.2.7. Похідна за напрямом. Градієнт.

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; l‑ деякий промінь з початком у точці ; ‑ точка на цьому промені, яка належить околу точки (рис. 5.13); ‑ довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом l у точці і позначається .

Зокрема, ‑ похідна функції за додатним напрямом осі х, а ‑ похідна функції за додатним напрямом осі у.

Рис. 4.13

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом l.

Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(4.20)

де і ‑ значення частинних похідних у точці .

Доведення. За умовою теореми функція має в точці неперервні частинні похідні, тому вона диференційовна в цій точці:

де , ‑ нескінченно малі величини при Тоді

.

Із трикутника (рис. 4.13) маємо:

,

Звідси

Якщо , то , , а отже Звідси

З найти похідну функції у точці за напрямом

^{Розв’язування.} Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці функції :

Тоді за формулою (5.2.13) маємо:

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції в точці , називається градієнтом функції у цій точці і позначається :

(4.21)

де і, j‑ одиничні орти.

З найти градієнт функції у точці .

Розв’язування. Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці :

;

Тоді згідно з (5.2.14) , або .

Аналогічно для диференційовної функції у точці похідна за напрямом довільного одиничного вектора , подається так:

Означення. Градієнтом диференційовної функції у точці називають вектор де ‑ одиничні орти, а значення частинних похідних обчислені в точці .

Властивості:

1. .

2. .

3. Якщо , то похідна досягає найбільшого значення при .