4.2. Диференційовність функції двох змінних.

4.2.1. Частинні та повні прирости функції двох змінних.

Рис. 4.9

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним х та у приростів х і у так, щоб точка не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки , також потраплять у цей окіл (рис. 4.9).

Означення. Різницю називають повним приростом функції за х та упри переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю – частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,

Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

4.2.2. Частинні похідні двох змінних.

Нехай функція задана в деякому околі точки .

Рис. 4.10

Означення. Якщо існують скінченні границі

;

,

то їх називають частинними похідними функції z = f(x, y) у точці відповідно за змінними х і у та позначають: , або , або (Символ «» ‑ так зване «де» кругле ‑ вперше застосував Якобі).

4.2.3. Повний диференціал функції двох змінних.

Означення. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

де А, В‑ деякі числа; , ‑ нескінченно малі при , . Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції(точніше ‑першим диференціалом) у точці ; позначається або Таким чином,

(4.8)

Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,

Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.

Отже, у кожній точці, де виконується рівність (4.2.1), повний диференціал функції обчислюється за формулою

(4.9)

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні

,

Доведення. За означенням диференційовної функції маємо:

(4.10)

Узявши у (4.10) , дістанемо :

.

Звідси

.

Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.

Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.

4.2.4. Частинні похідні та повний диференціал функції n-змінних.

Означення. Якщо існує скінченна границя

,

то її називають частинною похідною функції f у точці за змінною і позначають або .

Похідні , називають похідними першого порядку.

Правило знаходження частинних похідних першого порядку.

Для обчислення частинної похідної звичайно користуються відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи всі змінні, крім х_k, сталими.

З найти частинні похідні функції .

^{Розв’язування.} Функція визначена в області Вважаючи, що у стале, знаходимо

Вважаючи, що х стале, знаходимо

З найти частинні похідні функції

^{Розв’язування.} Вважаючи, що , , знаходимо

Вважаючи, що , , знаходимо

Вважаючи, що , , знаходимо