Геометрична інтерпретація частинних похідних.

Рис. 4.11

Проведемо площину EFGH через точку даної поверхні паралельно площині y0z. Рівняння цієї площини

х = а.

Отже, рівняння кривої, утвореної в перерізі JPK, буде

,

якщо EF розглядати як вісь z, а EH‑ як вісь y. У цій площині означає те саме, що , а тому

Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі y, дотичної до перерізу JК у точці Р.

Аналогічно, якщо провести площину BCD через Р паралельно площині x0z, її рівняння буде

,

і в площині перерізу DPI частинна похідна означатиме те саме, що й . Звідси

Отже, частинна похідна дорівнює тангенсу кута нахилу до осі х,дотичної до перерізу DJ в точці Р.

Для повного диференціала формула (5.2.2)узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних :

(4.11)

З найти якщо .

^{Розв’язування.} Знайдемо спочатку , , :

;

;

.

Звідси дістанемо:

Властивості повного диференціала.

Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:

, де , ‑ сталі;

(4.12)

;

, .

Властивість інваріантності форми повного диференціала: Формула (4.11) виконується не лише тоді, коли х та у‑ незалежні змінні, а й тоді, коли х і у є диференційовними функціями будь-яких змінних.

4.2.5. Достатня умова диференційованості функції двох змінних у точці.

Для функції однієї змінної диференційовність та існування похідної є рівносильними твердженнями. У разі функції багатьох змінних маємо інше: існування частинних похідних ‑ необхідна, але не достатня умова диференційовності функції в точці. Наприклад, для функції

у точці маємо: , . Проте ця функція розривна в точці , а тому вона не може бути диференційовною в цій точці. Отже, для диференційовності функції у точці не достатньо самого лише існування частинних похідних. Для диференційовності доводиться додатково вимагати неперервності частинних похідних, як це випливає з поданої далі теореми.

Теорема. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в цій точці.

Доведення. Розглянемо в координатній площині х0у точки , і (рис. 4.12).

Нехай частинні похідні визначені в деякому -околі точки Р і точка R належить даному околу. Оскільки -окіл точки Р‑ це круг радіусом  із центром у точці Р, то відрізки PQ i QR цілком належать цьому околу. Отже, функція визначена на відрізках PQ i QR.

Рис. 4.12

Подамо повний приріст функції у точці у вигляді

(4.13)

На відрізку PQ змінна у має стале значення , тому функція на цьому відрізку є функцією однієї змінної х. Застосовуючи формулу Лагранжа про середнє значення, дістаємо:

(4.14)

для деякого значення  з інтервалу . Аналогічно, на відрізку QR функція залежить лише від у. Тому на проміжку знайдеться точка , для якої

(4.15)

Згідно з (4.14) і (4.15) запишемо формулу (6.13) у вигляді:

.

Звідси

де , .

Очевидно, що при і точки А і В прямують до точки Р. Частинні похідні неперервні, тому коли

Разом з  та  прямує до нуля і величина

.

Тому з рівності

випливає диференційовність функції у точці .