Вступ до математичного аналізу Розділ 2

1. Послідовності.

1. Основні означення.

Означення.Якщо задана закономірність, згідно з якою кожному натуральному числу 1, 2, 3, …, відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задано послідовність.

Послідовність можна розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел.

Послідовність визначається формулою, тобто законом, згідно з яким установлюється спосіб відповідності заданих чисел послідовним натуральним числам. Послідовність із загальним членом а_n позначається , або просто а_n.

У прикладі: .

Інший спосіб визначення послідовності полягає в застосуванні рекурсії: n-й член послідовності визначається за допомогою заданих попередніх членів послідовності.

Р екурсія визначає послідовність 0, 3, 6, 9, ….

Р екурсія визначає послідовність 1,2,5,27,

734, ….

Приклади послідовностей.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.1.2. Обмежені та монотонні послідовності.

Означення. Послідовність називається обмеженою, коли існує таке додатне число М, що нерівність

виконується для всіх n.

Означення. Послідовність називається монотонно зростаючою(спадною), якщо

для всіх n.

В изначити, які з наведених далі послідовностей обмежені, а які монотонні.

1) 3)

2) 4) .

За означенням відповідно обмеженої і монотонної послідовності маємо:

1)  — обмежена послідовність;

монотонна спадна послідовність;

2)  – необмежена послідовність;

3)  – обмежена послідовність;

– монотонно спадна послідовність;

4)  – послідовність обмежена;

, оскільки

– послідовність монотонно зростаюча.

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n, не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.

П ослідовність , для якої

обмежена зверху та знизу: .

П ослідовність , тобто

обмежена зверху, але не обмежена знизу.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою зверху, якщо існує число т, таке що для всіх виконується нерівність . Число т називається верхньою межею множини.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що для всіх, виконується нерівність . Число m називається нижньою межею множини.

Множина, для якої існують верхня та нижня межі, називається обмеженою.

Найменша серед верхніх меж називається супремумом і позначається . Найбільша серед нижніх меж називається інфімумом і позначається .

Означення. Точною верхньою межею множини Х називається значення , таке що:

1. для будь-якого виконується нерівність ;

2. для будь-якого знайдеться значення , таке що

.

Аналогічно означується точна нижня межа множини Х.

Теорема.У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.