2. Тригонометрична форма комплексного числа.

З апис комплексного числа у вигляді називається алгебраїчною формою комплексного числа. Зобразимо число як точку на площині з декартовими координатами . Якщо тепер перейти до полярних координат , то , тому . Кут називається аргументом комплексного числа і позначається : . Аргумент комплексного числа визначений неоднозначно (з точністю до доданків, кратних ): якщо, наприклад, , то значення , рівні і т.д. теж будуть відповідати числу , тому значення аргумента, що задовольняє умовам , будемо називати головним; для позначення усіх значень аргумента комплексного числа використовується символ : .

Запис комплексного числа у вигляді називається тригонометричною формою числа.

Число – єдине число, модуль якого рівний нулю; аргумент для цього числа не визначений.

Перехід від тригонометричної форми до алгебраїчної очевидний: . Формули для переходувід алгебраїчної формидо тригонометричної такі:

П ри розв’язуванні задач на перевід алгебраїчно заданого комплексного числа у тригонометричну форму слід зобразити це число на комплексній площині і, таким чином, контролювати отриманий результат.

З аписатиу тригонометричній формі числа , , , , .

Розв’язування. , , ,

,

.

П ривести до тригонометричної форми число .

Зобразимо на комплексній площині разом з точкою точку . З рисунка зрозуміло, що , тому .

У тригонометричній формі легко інтерпретуються такі дії, як множення, ділення, піднесення до степеня. Нехай , , . Тоді

.

Висновок: при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, аргументидодаються. Очевидно, якщо , то , тобто операція спряження не змінює модуль числа, і змінює знак його аргумента, тому .

Висновок: при діленні комплексних чисел їх модулі діляться один на одного, аргумент частки рівний різниці аргументів діленого і дільника.

Введемопозначення: для будь якого дійсного числа суму будемо записувати як . Формула називається формулою Ейлера. Будь яке комплексне число можна представити як ; ця форма запису називається показниковою. Введене позначення узгоджене з властивостями показникової функції:

;

.

Індукцією по показнику степеня легко доводиться формула Муавра: якщо , то , або, в показниковій формі, . За допомогою цієї формули легко обчислювати високі степені комплексних чисел і виводити формули для синусів і косинусів кратних кутів:

.

Тепер розглянемо операцію добування кореня -го степеня з комплексного числа . По означенню, будь яке число , таке, що , називається коренем -го степеня з числа . Нехай , . Тоді . Числа рівні, якщо рівніїх модулі і аргументи, тому , , звідки , , при цьому різних значень кореня -го степеня з числа отримуються при .

З найти усі значення .

Ч исло у тригонометричній формі рівне . Усі п’ять значень кореня даються формулою при . Вонирозташовані на колі радіуса . Значення, що відповідає , має аргумент , інші розташовані з інтервалом по , рівним , утворюючи правильний п’ятикутник.