В 1873 г. Немецкий математик И. Б. Листинг предложил использовать для описания формы Земли понятие «геоид». Геоид образован уровенной поверхностью, это поверхность Мирового океана в спокойном состоянии мысленно продолженная под материками.

При решении геодезических задач необходимо знать форму и размеры Земли. Физическая поверхность Земли образует действительную форму Земли с её неровностями, рельефом, которые изображаются на картах. Но для геодезических построений они создают неудобство, поскольку такая поверхность сложно описывается математически.

Рисунок 1 Форма Земли

Наиболее удачная математическая модель Земли в виде референц-эллипсоида была предложена профессором Ф. Н. Красовским. В 1946 постановлением Совета Министров СССР размеры референц - эллипсоида Красовского были приняты за основу геодезических и картографических работ в нашей стране.

Рисунок 2 Основные линии и точки Земли

Географическая система координат.

Географические координаты ввел во II в. до н.э. греческий ученый Гиппарх. Географическими координатами являются угловые величины, называемые широтой φ и долготой λ, определяющие положение точки земной поверхности

Широта— (φ) угол между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора. Широты изменяются от 0 до 90°. В северном полушарии они называются северными, в южном — южными.

Долгота — λ двухгранный угол  между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана данной точки земной поверхности. За начальный меридиан принят меридиан, проходящий через центр Гринвичской обсерватории (район Лондона). Начальный меридиан называют Гринвичским. Долготы изменяются от О до 180°. Долготы, отсчитываемые на восток от Гринвичского меридиана, называются восточными, а долготы,. отсчитываемые на запад, — западными.

Географические координаты, полученные из астрономических наблюдений, называются астрономическими, а координаты, полученные геодезическими методами и определяемые по топографическим картам, — геодезическими. Значения астрономических и геодезических координат одних и тех же точек отличаются незначительно. Географическая (картографическая) сетка образуется на карте линиями параллелей и меридианов. Она используется для определения географических координат объектов. На топографических картах линии параллелей и меридианов служат внутренними рамками листов; их широты и долготы подписываются на углах каждого листа.

Рассмотрим пример по определению географических координат.

Для определения географических координат точки используют минутную рамку карты и значения долготы и широты, подписанные в углах рамки.

Из заданной точки к ближайшим сторонам минутной рамки с помощью прямоугольного треугольника опускают перпендикуляры (рис. 4.) и измеряют линейкой отрезки а_φ; b_φ; а_λ; b_λ .

Широту и долготу заданной точки получают из выражений:

где – широты южной и северной параллелей, проходящих через границы минутного деления рамки; – расстояние в мм от точки до южной параллели; – расстояние в мм от точки до северной параллели; – долготы западного и восточного меридианов, проходящих через границы минутного деления рамки; – расстояние в мм от точки до западного меридиана;. – расстояние в мм от точке до восточного меридиана.

В рассматриваемом примере

Плоская прямоугольная система координат.

Наиболее распространенной в практической геодезии является плоская прямоугольная система координат Гаусса-Крюгера, которая объединяет в себе глобальность (общеземной характер) и простоту, свойственную плоским прямоугольным координатам. Земной шар разделен на 6º зоны, рисунок 5, каждая зона разворачивается в плоскость. Для удобства подсчета координат точек каждую зону покрывают координатной сеткой, линиями параллельными экватору и осевому меридиану.

На топографических картах масштабов 1:10000, 1:25000, 1:50000 линии квадратной сетки проводят через 1 км расстояния на местности. Поэтому координатную сетку часто называют километровой.

Рисунок 5 – Плоская прямоугольная система координат

Чтобы все ординаты были положительными, в каждой зоне ординате начала координат придают значение, равное 500 км. Следовательно, все точки, расположенные к западу от осевого меридиана, имеют значение более 500 км, а точки, расположенные к востоку от осевого меридиана – более 500 км. Такие координаты называют преобразованными.

Оси координат делят шестиградусную зону на четыре четверти, счет которых ведется по ходу часовой стрелки от положительного направления абсцисс Х. каждая четверть имеет свое наименование. В зависимости от того, в какой четверти расположена точка, координаты имеют свои знаки.

Номер и наименование четверти	Знаки координат
	X	Y
Первая четверть (СВ) северо-восточная	+	+
Вторая четверть (ЮВ) юго-восточная	-	+
Третья четверть (ЮЗ) юго-западная	-	-
Четвертая четверть (СЗ) северо-западная	+	-

Прямоугольные координаты точки определяют, используя километровую сетку и оцифровку её линий у внутренней рамки. Для этого находят координаты углов квадрата, в котором расположена точка, и измеряют кратчайшие расстояния от заданной точки до всех сторон квадрата (рис. 7).

(3)

(4)

Рассмотрим пример по определению плоских прямоугольных координат точки А.

Для этого опустим перпендикуляры из заданной точки на линии координатной сетки того квадрата, в котором расположена точка А. Линейкой измерим расстояния Х_Ю; Х_С; a_x; b_x; Y_З; Y_В; a_y;b_y.

Г

Рисунок 7 Определение прямоугольных координат

де Х_Ю; Х_С – абсциссы южной и северной сторон квадрата, в котором расположена точка; a_x – кратчайшее расстояние в мм от точки до южной стороны квадрата; b_x – кратчайшее расстояние в мм от точки до северной стороны; Y_З; Y_В – ординаты западной и восточной сторон квадрата; a_y;b_y – кратчайшие расстояния в мм от точки до западной и восточной сторон квадрата. Подставляя полученные значения в формулы 3 и 4 подсчитывают значения прямоугольных координат точки А.

Полярная система координат.

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов

Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются топоцентрическими. Если на горизонтальной плоскости через произвольно выбранную точку O (рис. 8), называемую полюсом, провести прямую ОХ, называемую полярной осью, то положение любой точки, например 1, будет определяться радиусом-вектором r1 и углом направления ɵ1, а точки 2 -соответственно r₂ и ɵ₂. Такие координаты называются полярными. Углы ɵ₁ и ɵ₂ измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось на плоскости может располагаться произвольно или совпадать с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О. Полярную систему координат часто применяют при выполнении съемочных и разбивочных геодезических работ.

Система высот.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.

Для определения положения точки, находящейся на физической поверхности Земли относительно уровенной поверхности, необходима третья координата — высота.

Высотой точки называется расстояние по отвесной линии между этой точкой и уровенной поверхностью, принятой за начало счета высот (рисунок 9). Высоты бывают абсолютные и относительные.

Рисунок 9 система высот

Абсолютной высотой называют высоту места над уровнем океана. В России с 1946 г. счет абсолютных высот ведется от нуля Кронштадтского футштока, соответствующего среднему уровню Балтийского моря в спокойном его состоянии (Балтийская система высот). Футшток — рейка с делениями. Абсолютная высота отсчитывается от нуля этого футштока. Эта высота может быть положительной или отрицательной. Если точка лежит выше уровня моря, то ее высота считается положительной (холмы, возвышенности, горы), а если ниже — отрицательной (океанические впадины). Отрицательную абсолютную высоту могут иметь и точки на суше (Прикаспийская низменность). На планах и картах абсолютная высота обозначается точкой, около которой помещают число метров. Такое обозначение называют отметкой высоты. Разность абсолютных высот точек показывает относительную высоту, то есть превышение одной точки земной поверхности относительно другой.

В разных частях Мирового океана, хотя все они соединяются как сообщающиеся сосуды, уровни не одинаковые. Так, уровень океана у Кронштадта выше, чем уровень вод Тихого океана у Владивостока, на 1,8 м.

Рисунок 10 Линейный масштаб 1:50 000

Для построения линейного масштаба (рис. 10) на прямой несколько раз откладывают один и тот же отрезок δ (основание масштаба) 1−2 см. Крайний левый отрезок делят на 10 равных частей. У концов каждого основания подписываются числа, которые в заданном масштабе указывают длину соответствующих линий в натуре в нарастающем порядке от нулевого деления основания слева направо. Линейный масштаб строится для численного масштаба.

Линейный масштаб позволяет без вычислений измерять или строить расстояния на картах и планах.

Определение расстояний циркулем-измерителем. На плане определяем длину линии (в створ) и переносим на линейный масштаб таким образом, чтобы правая ножка измерителя касалась одного из концов оснований, а другая находилась в левой части масштаба, разделенной на короткие отрезки.

Например, на рисунке 11 изображен линейный масштаб 1:50 000, т. е. в 1 см плана содержится 50 000 см на местности (в 1 см плана содержится 500 м на местности).

Основанию масштаба δ в 2 см соответствует 1000 м длины на местности, крайний левый отрезок масштаба разделен на 10 равных частей, длина каждого короткого левого отрезка в 10 раз меньше, чем основание масштаба δ, что соответствует 100 м длины на местности. Из этого следует, что длина линии на

- по виду изображений параллелей и меридианов на цилиндрические, конические, азимутальные, поликонические, псевдоконические, псевдоцилиндрические, условные.

Применение тех или иных картографических проекций зависит от назначения карты, конфигурации и положения картографируемой территории.

а - цилиндрическая; б- коническая; в - азимутальная

Рисунок 14 Виды картографических проекций

Как уже было сказано, основными являются проекции на плоскость, конус и цилиндр.

Плоские карты из конуса и цилиндра получаются разворачиванием их на плоскости. Это три способа, позволяющие представить поверхность земного шара на плоскости. В каждом случае происходит некоторое искажение площадей, формы или расстояний из-за кривизны Земли.

а б

а - сферической поверхности; б – участка местности

Рисунок 15 Проекция на горизонтальную плоскость

Разность Δd между касательной А'ВС' и дугой сфероида АВС выражается формулой

(3)

где R – радиус земного шара

При длине дуги 20км Δd=1,64см, при длине дуги 50км Δd=0,26м. Относительная ошибка определяется по формуле

(4)

Такая ошибка меньше высокоточных линейных измерений на местности. С увеличением дуги погрешность будет резко возрастать. Поэтому проектируемые контуры участка местности с диаметром до 50 км изобразятся на плоскости без заметных искажений, вызванных кривизной Земли. Такие проекции называются ортогональными.

§7 План, профиль, карта, аэрофотоснимок, абрис

Планом называют уменьшенное и подобное изображение горизонтальной проекции небольшого участка земной поверхности на плоскости.

Если на плане показаны только контуры ситуации местности (границы леса, пашен, болот, дорог, рек, озер и других элементов), его называют контурным. Планы на которых кроме ситуации изображен рельеф местности, называют топографическим.

а б

а - контурный (ситуационный); б - топографический

Рисунок 16 Контурный и топографический план

Ситуацией называют совокупность постоянных предметов на местности: рек, озер, растительного покрова, дорожной сети, населенных мест, сооружений и т. д. Границы между отдельными объектами ситуации называются контурами местности.

В зависимости от целей использования, различают следующие планы:

На тематических картах изображают размещение, сочетание и связи различных природных и общественных явлений. Известны геологические, климатические, ландшафтные, экологические карты, карты полезных ископаемых, карты размещения производительных сил, карты населения, исторические, учебные, туристические и т.д.

Карты, выполненные в масштабах 1:100 000 и крупнее, называют топографическими. Наиболее распространены топографические карты масштабов 1:100 000; 1:50 000; 1:25 000; 1:10 000. Такие крупномасштабные карты составляют в равноугольной цилиндрической проекции Гаусса, что позволяет сохранить на них подобие земной поверхности в самых малых её частях. Поэтому крупномасштабными топографическими картами можно пользоваться, как планами для решения различных технических задач при проектировании и строительстве железных дорог, мостов, зданий и других инженерных сооружений.

Профиль – уменьшенное изображение на плоскости вертикального разреза земной поверхности по заданному направлению.

Для построения профиля по какому-либо направлению по топографической карте прочерчивают прямую, на которой отмечают и определяют по горизонталям высоты точек пересечения с вершинами высот и перегибами скатов. Эти точки переносят на линию основания профиля на чертеже и восставляют в них перпендикуляры к основанию, по которым в крупном масштабе (в 5-10 раз крупнее масштаба карты) откладывают высоты точек над той из них, которая имеет наименьшую высоту. Полученные точки соединяют плавной кривой, которая и будет изображением профиля рельефа по данному направлению.

Аэрофотоснимок – фотографическое изображение участка земной поверхности, полученное с летательного аппарата. Он представляет собой центральную проекцию, центром которой служит точка объектива фотоаппарата. При отвесном положении фотоаппарата получается плановый снимок, при наклонном – перспективный снимок.

Абрис – схематический чертеж участка местности, выполненный от руки карандашом, на котором нанесены элементы ситуации и рельефа. Абрис контурной (теодолитной) съемки – чертеж, на котором показывают взаимное расположение опорных пунктов, линий и снимаемых объектов (ситуацию), а также результаты измерений. Абрис топографической (комбинированной) съемки – чертеж, на который наносят положение съемочных и пикетных точек с обозначением их номеров. Стрелками соединяют соседние точки, если уклон по этим направлениям однородный. Таким образом выявляется скелет рельефа.