Частина 2

Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Знайти довжину кола, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють 15 см і 20 см.

22. У рівнобедрену трапецію вписано коло. Основи трапеції дорівнюють 9 см і 25 см, а бічна сторона — 17 см. Знайти довжину вписаного кола.

23. Периметр правильного трикутника дорівнює 36 см. На стороні трикутника як на діаметрі, побудовано коло. Знайти довжину дуги, розміщену у внутрішній області трикутника.

24. Знайти площу круга, описаного навколо правильного трикутника зі стороною 9 см.

25. Знайти площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною 6 см.

26. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює а і є діаметром кола. Знайти площу тієї частини круга, яка розміщена поза трикутником.

27. Дано два круги зі спільним центром. Радіус меншого круга дорівнює радіуса більшого. Знайти відношення площі утвореного кільця до площі круга більшого радіуса.

28. Знайти кути ромба, якщо площа вписаного в нього круга вдвічі менша від площі ромба.

29. Знайти відношення довжин кіл, вписаного й описаного навколо квадрата.

30. Знайти площу тієї частини круга, яка розміщена поза вписаним у нього прямокутним трикутником з катетами 12 см і 16 см.

Частина 3

Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Дано два круги радіуса 1 см, відстань між центрами яких дорівнює  см. Знайти площу спільної частини цих кругів.

32. Дано три рівні кола радіуса R, які попарно дотикаються одне одного. Знайти площу замальованого на рисунку криволінійного трикутника.

33. На рисунку сторона квадрата дорівнює а. Кожна його вершина є центром кола радіуса а. Знайти периметр замальованого криволінійного чотирикутника обмеженого цими колами.

34. У прямокутну трапецію з основами а і b вписано коло. Знайти радіус вписаного кола.

35. На висоті рівностороннього трикутника як на діаметрі побудовано круг. Довжина сторони трикутника дорівнює а. Знайти площу тієї частини трикутника, яка лежить поза даним кругом.

Розділ іі. Стереометрія Тема 7. Прямі й площини в просторі Частина 1

Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. Шість точок не лежать в одній площині. Яке найбільше число цих точок може лежати на одній прямій?

А	Б	В	Г	Д
Дві	три	чотири	п’ять	шість

2. На рисунку зображено тетраедр АВСD. Точка М належить ребру DB, а точка Р — ребру DC. Точки K₁, K₂, K₃, K₄ і K₅ належать площині АВС. У якій з цих точок пряма РМ перетинає площину АВС?

А	Б	В	Г	Д
K1	K2	K3	K4	K5

3. На рисунку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁ і точку М на ребрі ВВ₁. Якій із прямих належить точка перетину прямої МС із площиною А₁В₁С₁?

А	Б	В	Г	Д
А1В1	В1С1	С1D1	А1C1	B1D1

4. Яка з наведених фігур не може бути паралельною проекцією прямокутної трапеції?

А	Б	В	Г	Д
Трапеція з тупим кутом при більшій основі	прямокутна трапеція	рівнобічна трапеція	відрізок	паралелограм

5. На рисунку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D_1. Вказати ортогональну проекцію діагоналі А₁С на площину DD₁C₁.

А	Б	В	Г	Д
С1D	CC1	С1D1	DD1	CD1

6. На рисунку площини  і  перетинаються по прямій с. Пряма а належить площині , пряма b — площині . Яке з наведених тверджень правильне?

А	Б	В	Г	Д
Прямі а і b перетинаються	прямі а і b паралельні	прямі а і b мимобіжні	прямі а і b паралельні або мимобіжні	прямі а і b паралельні або перетинаються

7. На рисунку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁, ребро якого дорівнює 1. Знайти відстань між прямими АА₁ і В₁D₁.

А	Б	В	Г	Д
	1	2

8. Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Вказати кут між прямою А₁С і площиною DCC₁.

А	Б	В	Г	Д
А1СС1	А1СD	А1СD1	АСB1	A1СA

9. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁, у якого АВСD — квадрат зі стороною 1, а бічне ребро АА₁ =  . Чому дорівнює кут між площинами АА₁В₁ і А₁В₁С?

А	Б	В	Г	Д
30°	45°	60°	75°	90°

10. Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайти кут між прямими АВ₁ і А₁D.

А	Б	В	Г	Д
30°	45°	60°	75°	90°

11. На рисунку АВСD — прямокутна трапеція з прямим кутом В, точка М — середина сторони АD. РВ — перпендикуляр до площини АВС. Визначити кут між площинами АВС і АРD.

А	Б	В	Г	Д
РМС	РМD	РDB	РAD	РAB

12. Площини  і  перетинаються по прямій а під кутом 60°. Точка А належить площині . Довжина відрізка АМ є відстанню від точки А до площини , а довжина відрізка АK — відстанню від точки А до прямої а. Знайти довжину відрізка АK, якщо АМ =  .

А	Б	В	Г	Д
2	1			3

13. Точка А віддалена від площини на відстань  см. Обчислити довжину проекції похилої, проведеної з цієї точки під кутом 60° до площини.

А	Б	В	Г	Д
18 см	см	3 см	см	6 см

14. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює а. Точка А розміщена від кожної вершини трикутника на відстані b. Визначити відстань від точки А до площини трикутника.

А	Б	В	Г	Д

15. Точка М розміщена на відстані m від кожної сторони правильного трикутника і на відстані h від площини трикутника. Визначити сторону трикутника.

А	Б	В	Г	Д

16. На рисунку АВСD — квадрат, МВ — перпендикуляр до площини АВС. Похила АМ нахилена до площини АВС під кутом 45°. Під яким кутом нахилена до площини АВС похила МD?

А	Б	В	Г	Д
30°	60°			arctg2

17. Знайти кут між площинами, якщо точка, яка лежить на одній з них, віддалена від прямої перетину площин утричі далі, ніж від другої площини.

А	Б	В	Г	Д

18. Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці розміщені на відстані 2 м і 3 м від площини. Знайти кут між даним відрізком і площиною.

А	Б	В	Г	Д
30°	45°	60°

19. На рисунку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁ з ребром 2а. Точка М — середина ребра АА_1. Встановити вид многокутника, який є перерізом куба площиною МВС, визначити його площу.

А	Б	В	Г	Д
	a2	2a2		5a2

20. На рисунку зображено правильний тетраедр SABC з ребром а. Точки М, K і Р — відповідно середини ребер AS, SС i AB. Встановити вид многокутника, який є перерізом тетраедра площиною МKР, визначити його периметр.

А	Б	В	Г	Д
3a		a	2a	4a