Частина 2

Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі 144π см² і 25π см². Відстань між площинами дорівнює 17 см. Знайти площу поверхні кулі.

22. Перерізи сфери двома паралельними площинами мають довжини 10π см і 24π см. Знайти площу поверхні сфери, якщо відстань між площинами дорівнює 7 см і центри перерізів лежать на одному радіусі сфери.

23. Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Висота призми дорівнює 24 см. Знайти радіус кулі, описаної навколо призми.

24. Сторона основи і висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 4 см. Знайти радіус описаної навколо піраміди кулі.

25. Навколо конуса з радіусом основи r і висотою h описано кулю. Визначити радіус цієї кулі.

26. Навколо циліндра, у якого твірна дорівнює l, а діагональ осьового перерізу утворює з основою кут , описано кулю. Визначити об’єм кулі.

27. У пряму чотирикутну призму, основою якої є ромб з діагоналями d₁ i d₂, вписано кулю. Визначити радіус кулі.

28. У правильну трикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а, а двогранний кут при ребрі основи дорівнює , вписано кулю. Знайти об’єм кулі.

29. У циліндр, об’єм якого V, вписано кулю. Визначити радіус кулі.

30. Висота конуса дорівнює 8 см, а його твірна дорівнює 10 см. Знайти радіус кулі, вписаної в конус.

Частина 3

Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Основою піраміди є правильний трикутник зі стороною 6 см. Одне з бічних ребер піраміди є перпендикулярним до площини основи і дорівнює 4 см. Знайти радіус кулі, описаної навколо піраміди.

32. У конус, бічна поверхня якого в k разів більша від площі основи, вписано кулю радіуса R. Визначити об’єм конуса.

33. Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Визначити радіус сфери, яка дотикається до бічних граней тетраедра, якщо центр цієї сфери лежить на основі тетраедра.

34. Дано правильну трикутну піраміду зі стороною основи а. Двогранний кут при бічному ребрі дорівнює φ. Визначити радіус сфери, описаної навколо піраміди.

35. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні, а площі бічних граней дорівнюють S₁, S₂ i S₃. Знайти радіус вписаної кулі.

Розділ ііі. Координати та вектори Тема 13. Координати Частина 1

Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. Точки А(2; –4; –8) і В(10; –20; 6) симетричні відносно точки С. Знайти координати точки С.

А	Б	В	Г	Д
(–10; 20; –6)	(3; –4; –0,5)	(12; –24; –1)	(6; –12; –1)	(–2; 4; –8)

2. Скласти рівняння кола, в якого відрізок МN — діаметр і M(7; 6), N(11; 9).

А	Б	В	Г	Д

3. Дано трикутник АВС, вершини якого мають координати А(–2; 6), В(–2; –2) і С (4; –2). Знайти довжину медіани ВМ.

А	Б	В	Г	Д
2	3	4	5	6

4. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точок С(0; 3) і D(2; 1).

А	Б	В	Г	Д
y = x + 3	y = x + 1	y = x + 2	y = –x + 1	y = 2

5. Знайти координати точки, яка симетрична точці А(1; 2; 3) відносно площини xy.

А	Б	В	Г	Д
(–1; –2; –3)	(–1; –2; 3)	(1; –2; 3)	(–1; 2; 3)	(1; 2; –3)

6. Знайти координати точки, яка симетрична точці М(10; 20; 30) відносно осі аплікат.

А	Б	В	Г	Д
(–10; –20; 30)	(10; 20; 30)	(10; 20; 0)	(–10; –20; –30)	(10; 20; –30)

7. При паралельному перенесенні точка А(1; 2; 6) переходить у точку А₁(6; 7; 0). Вказати координати точки, у яку при цьому переходить точка В(7; 9; 1).

А	Б	В	Г	Д
(21; 31,5; 0)	(2; 4; 7)	(12; 14; –5)	(12; 14; 7)	(–12; –14; 5)

8. Знайти відстань від точки М(5; 4; 12) до осі ординат.

А	Б	В	Г	Д
5	4	12	13	21

9. Знайти відстань від точки Р(3; –6; 8) до площини yz.

А	Б	В	Г	Д
3	4	6	8	10

10. Скласти рівняння сфери, яка проходить через початок координат із центром у точці S(–1; 2; –3).

А	Б	В	Г	Д

11. Вказати рівняння кола, яке на площині симетричне колу відносно осі Oy.

А	Б	В	Г	Д

12. Скласти рівняння кола з центром у точці С(5; –2), яка дотикається до осі ординат.

А	Б	В	Г	Д

13. Скласти рівняння сфери з центром у точці А(–1; 3; 2), яка дотикається до площини ху.

А	Б	В	Г	Д

14. Знайти координати центра кола .

А	Б	В	Г	Д
(2; 5)	(–2; 5)	(–2; –5)	(2; –5)	(4; –10)

15. Знайти радіус сфери .

А	Б	В	Г	Д
2	3	4	5	6

16. Дано АВСD — паралелограм. А(–4; 1; 5), В(–5; 4; 2), С(3; –2; –1). Знайти координати вершини D.

А	Б	В	Г	Д
(12; 7; –8)	(6; –3; –6)	(–6; 3; 6)	(–12; 7; 8)	(4; –5; 2)

17. Дано АВСDA₁B₁C₁D₁ — куб. А(7; 0; 0), В(5; 0; 0), С₁(5; 2; 2). Знайти координати вершини D₁.

А	Б	В	Г	Д
(7; 5; 2)	(5; 2; 0)	(2; 2; 2)	(7; 2; 2)	(7; 0; 2)

18. Точки А(2; 4) і С(5; 8) є вершинами квадрата АВСD. Знайти площу цього квадрата.

А	Б	В	Г	Д
2,5	5	12,5	25	20

19. Точки А(–1; 0; 2) і В(0; 1; 1) є вершинами правильного трикутника. Знайти площу цього трикутника.

А	Б	В	Г	Д
			3	9

20. d(x) — відстань від точки М(х; 0; 0) до площини yz. Який з наведених графіків є графіком функції d = d(x)?

А	Б	В	Г	Д