Частина 2

Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як  : 4. Знайти кут між діагоналлю осьового перерізу циліндра і площиною основи.

22. Висота циліндра дорівнює 12 см, а радіус основи дорівнює 10 см. Циліндр перетнуто площиною, паралельною його осі так, що в перерізі утворився квадрат. Знайти відстань від осі циліндра до січної площини.

23. Площина, паралельна осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 120°. Знайти площу перерізу, якщо висота дорівнює 10 см, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює  см.

24. Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює φ, площа основи циліндра дорівнює S. Визначити площу бічної поверхні циліндра.

25. Із квадрата, діагональ якого дорівнює d, згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра.

26. Площина, паралельна осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 60°. Твірна циліндра дорівнює 10  см, а відстань від осі до січної площини — 2 см. Знайти площу перерізу.

27. Знайти об’єм циліндра, якщо розгорткою його бічної поверхні є квадрат зі стороною а.

28. В основі циліндра проведено хорду, яка стягує дугу . Відрізок, який сполучає центр іншої основи із серединою цієї хорди, дорівнює l і утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм циліндра.

29. У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом . Визначити об’єм циліндра, якщо висота призми дорівнює h.

30. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, основи якої дорівнюють 8 см і 2 см. Висота призми дорівнює 10 см. Знайти об’єм циліндра, вписаного в цю призму.

Частина 3

Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Знайти діагональ осьового перерізу циліндра, якщо його об’єм дорівнює V, а бічна поверхня дорівнює S.

32. У циліндрі проведено два перерізи АВСD і АВEF, де АВ — твірна циліндра. Площа кожного з цих перерізів дорівнює площі осьового перерізу. Знайти кут між площинами АВC й АBE.

33. Два однакові рівносторонні циліндри розміщені так, що вісь кожного з них є твірною іншого. Знайти об’єм спільної частини цих циліндрів, якщо твірна дорівнює а.

34. Площина перетинає основи циліндра по хордах, які дорівнюють 6 см і 8 см, відстань між ними — 9 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус циліндра 5 см.

35. У циліндр вписано паралелепіпед, діагональ якого утворює з площиною основи кут , а з більшою бічною гранню — кут . Визначити об’єм циліндра, якщо більша сторона основи паралелепіпеда дорівнює а.

16* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

Тема 11. Конус Частина 1

Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. Діаметр основи конуса 8 см, а його висота 3 см. Знайти твірну конуса.

А	Б	В	Г	Д
10 см	см	2 см	10 см	5 см

2. Твірна конуса дорівнює l, а кут між твірною і висотою — . Визначити площу бічної поверхні конуса.

А	Б	В	Г	Д

3. Знайти площу повної поверхні конуса, твірна якого дорівнює 10 см, а радіус основи дорівнює 6 см.

А	Б	В	Г	Д
160π см2	96π см2	320π см2	192 см2	48π см2

4. Прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см обертається навколо меншого катета. Обчислити об’єм утвореного тіла обертання.

А	Б	В	Г	Д
16π см3	12π см3	36π см3	48π см3	4π см3

5. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Радіус основи конуса дорівнює 6. Знайти площу осьового перерізу конуса.

А	Б	В	Г	Д
72	9	12	18	36

6. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор, радіус якого дорівнює 9 см, а дуга — 120°. Знайти радіус конуса.

А	Б	В	Г	Д
4,5 см	1,5 см	6 см	3 см	9 см

7. Висоту конуса поділено на чотири рівні відрізки і через точки поділу паралельно основі проведено площини. Визначити площу найбільшого перерізу, якщо площа основи дорівнює S.

А	Б	В	Г	Д

8. Хорду основи конуса, довжина якої а, видно з центра основи під кутом . Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом . Визначити висоту конуса.

А	Б	В	Г	Д

9. Радіус основи конуса дорівнює r. Визначити площу перерізу, який проходить через вершину конуса і хорду основи, яка стягує дугу 60°, якщо площина перерізу утворює з площиною основи конуса кут 30°.

А	Б	В	Г	Д

10. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 7 см і 15 см, а його твірна — 10 см. Знайти висоту конуса.

А	Б	В	Г	Д
3 см	см	см	6 см	12 см

11. Два конуси мають однакову площу бічної поверхні. Знайти відношення площ їх основ, якщо твірна першого конуса утричі більша від твірної другого.

А	Б	В	Г	Д
1 : 9	1 : 3	1 : 81	2 : 3	4 : 9

12. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник зі стороною 2r. Визначити площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює 30°.

А	Б	В	Г	Д

13. Найбільший кут між твірними конуса дорівнює 60°. Знайти відношення бічної поверхні до площі основи конуса.

А	Б	В	Г	Д
1	2	3	4	5

14. Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорівнює π. Знайти кут нахилу твірної до основи.

А	Б	В	Г	Д
15°	30°	45°	60°	75°

15. Півкруг згорнули в конус. Знайти кут при вершині осьового перерізу цього конуса.

А	Б	В	Г	Д
30°	45°	60°	90°	120°

16. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з дугою . Знайти , якщо висота конуса дорівнює 4 см, а радіус основи — 3 см.

А	Б	В	Г	Д
54°	72°	58°	216°	108°

17. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічна грань утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм конуса, вписаного в піраміду.

А	Б	В	Г	Д

18. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b й утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм конуса, описаного навколо піраміди.

А	Б	В	Г	Д

19. Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 5 см обертається навколо найбільшої сторони. Знайти площу поверхні обертання.

А	Б	В	Г	Д
10π см2	12,6π см2	14,4π см2	16,8π см2	20,2π см2

20. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють R і r, а твірна — l. Знайти твірну повного конуса, від якого відокремлений зрізаний конус.

А	Б	В	Г	Д