2. Вывод рабочей формулы для определения максимальных углов отклонения подвесов шаров после абсолютно упругого удара

Абсолютно упругим называется удар, при котором не происходит превращение механической энергии соударяющихся тел в другие виды энергии. В частности, не наблюдается нагревание тел при ударе. При абсолютно упругом ударе деформация тел, возникающие в момент удара, после его завершения полностью исчезает. Очень близким к упругому является удар стальных шаров.

В работе рассматривается соударение двух стальных шаров массами и , закрепленных на подвесах одинаковой длины (рис. 4.1).

Найдем скорости шаров сразу после удара, который будем считать абсолютно упругим лобовым. Пусть скорость шара за мгновение до удара равна , а шара – нулю. Скорости шаров сразу после удара обозначим и соответственно. Как и в случае абсолютно неупругого соударения, механическую систему двух шаров во время абсолютно упругого удара можно считать замкнутой в горизонтальном направлении (вдоль оси X). Следовательно, для составляющей вектора импульса механической системы, параллельной оси X, должен выполняться закон сохранения:

, (4.8)

где , и – проекции векторов , и на ось X.

При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения полной механической энергии системы соударяющихся тел. Тогда, полагая потенциальную энергию шаров в момент удара равной нулю, имеем:

. (4.9)

В (4.9) учли, что векторы скоростей шаров за мгновение до и сразу после удара направлены горизонтально.

Решая систему уравнений (4.8)-(4.9) относительно и , получаем:

, (4.10)

. (4.11)

Анализ формул (4.10) и (4.11) показывает:

1. если , то . Это означает, что после упругого удара шаром меньшей массы по неподвижному шару с большей массой, меньший шар после удара движется в обратную сторону;

2. если , то , а . При равенстве масс соударяющихся шаров в результате упругого удара первый шар останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью первого шара;

3. если , то . Это означает, что оба шара после удара движутся в положительном направлении оси X.

Рассмотрим интересный физический эффект, наблюдающийся при упругом повторном соударении шара массы с первоначально неподвижным шаром массы .

Будем считать, что периоды колебаний шаров одинаковы. Тогда после первого соударения шары, отклонившись от первого положения равновесия, повторно столкнуться в той же нижней точке их траекторий. За время одного колебания потери механической энергии каждого шара, связанные с работой силы сопротивления воздуха, малы. Это позволяет считать, что их скорости за мгновение до повторного удара равны по модулю скоростям шаров сразу после первого удара, но направление скоростей противоположны, т.е. и . Тогда для повторного соударения закон сохранения проекции вектора импульса системы на ось X и закон сохранения механической энергии запишутся в виде:

, (4.12)

, (4.13)

где и – проекции скоростей и шаров сразу после второго удара на ось X.

Подставляя (4.10) и (4.11) в (4.12) и (4.13), после преобразований получаем:

Откуда

,

.

Таким образом, в результате второго удара шар , который до первого удара покоился, опять останавливается, а шар приобретает кинетическую энергию, равную энергии перед первым ударом. Последнее означает, что после второго удара шар должен отклониться почти на тот же угол, с которого он был отпущен электромагнитом в начале опыта.

Так как величинами, которые будут измеряться в опытах, являются не скорости, а максимальные углы отклонения подвесов шаров от положения равновесия, получим формулы для углов отклонения каждого из шаров после первого удара, используя полученные выражения для скоростей (4.10) и (4.11).

Пусть удерживаемый электромагнитом шар имеет подвес, расположенный под углом к вертикальному направлению. Если расстояние от оси вращения до центра масс шара равно l (рис. 4.1), то в таком положении центр масс поднят на высоту , которая равна

.

Из закона сохранения механической энергии следует

.

Откуда

. (4.14)

Из формулы (4.10), подставляя (4.14), получаем

. (4.15)

Угол отклонения подвеса первого шара после первого удара обозначим . Связь этого угла с высотой подъема после первого удара имеет вид:

. (4.16)

Опять воспользуемся законом сохранения механической энергии

,

. (4.17)

Подставляя (4.15) и (4.16) в (4.17), получаем

.

После сокращений и преобразований получим рабочую формулу для косинуса максимального угла отклонения подвеса первого шара после первого удара:

. (4.18)

Рассуждая аналогично, получим рабочую формулу для косинуса максимального угла отклонения подвеса второго шара после первого удара:

;

;

;

. (4.19)

Пользуясь рабочими формулами (4.18) и (4.19), найдем, при каком отношении масс шаров максимальные углы отклонения их подвесов после первого удара будут одинаковыми.

При из (4.18) и (4.19) получаем:

.

Откуда

.

Таким образом, максимальные углы отклонения подвесов шаров после первого удара будут одинаковыми, если отношение массы второго шара к массе первого равно

. (4.20)

Для более полной и детальной информации следует обратиться к литературе, например [1-4].