2. Определение базисного решения.
Согласно определению, базисным называют решение задачи линейного программирования, при котором все свободные переменные равны нулю, т.е. если xm+1, xm+2, …, xn равны нулю, согласно системе (5.17) базисные переменные будут равны:
(5.19)
Базисное решение легко определить по симплекс-таблице. Так первая колонка симплекс-таблицы показывает базисные переменные, а вторая - соответствующие им значения. Остальные переменные – свободные – равны нулю.
3. Проверка совместности системы ограничений.
Следующим этапом, согласно вышеприведенному алгоритму симплекс-метода, является проверка совместности системы ограничений задачи линейного программирования, т.е. наличия области допустимых решений.
Признак несовместности системы ограничений задачи линейного программирования (признак 1): ограничения несовместны, если в любой строке (кроме строки целевой функции), имеющей отрицательное свободное число , нет ни одного отрицательного элемента.
4. Проверка ограниченности целевой функции.
Признак ограниченности целевой функции (признак 2): целевая функция ограниченна в области допустимых решений, т.е. существует конечное максимальное (минимальное) значение целевой функции, если на каждой итерации в каждом столбце, в строке целевой функции которого находится отрицательный (положительный) элемент, есть хотя бы один положительный элемент (данный признак не распространяется на колонку свободных чисел ).
5. Проверка допустимости базисного решения.
Согласно определению допустимым базисным решением (опорным планом) называют базисное решение, удовлетворяющее условию неотрицательности, т.е. .
Удобно допустимость базисного решения проверять по симплекс-таблице в соответствии со следующим правилом (признак 3): базисное решение будет допустимым, если в симплекс-таблице все свободные числа (кроме строки целевой функции) неотрицательные.
6. Проверка оптимальности найденного базисного решения.
Если решение допустимое, то решение проверяется на оптимальность с помощью следующего признака.
Признак оптимальности решения (признак 4): найденное допустимое базисное решение будет максимизировать (минимизировать) целевую функцию, т.е. будет оптимальным, если в строке целевой функции все элементы (кроме элемента, расположенного в колонке свободных чисел) положительные (отрицательные).
7. Проверка альтернативности найденного оптимального решения.
Признак альтернативности (признак 5): если в строке целевой функции все элементы (кроме элемента, расположенного в колонке свободных чисел) одного знака и среди них есть хотя бы один нулевой элемент, то полученное оптимальное решение является альтернативным, т.е. не единственным.
8. Определение разрешающего элемента.
Если найденное базисное решение не является допустимым или оптимальным, то определяют другое, более «лучшее» (или по крайней мере «не худшее») решение посредством симплекс-преобразований, ключевым элементом которых является разрешающий элемент.
Разрешающий элемент указывает одну свободную и одну базисную переменные, которые следует поменять местами, чтобы получить новое «улучшенное» базисное решение.
Разрешающий элемент может быть определен по следующему алгоритму: