5. Задачи линейного программирования
Линейное программирование (ЛП) является одним из разделов математического программирования – дисциплины, изучающей экстремальные (оптимизационные) задачи и разработкой методов их решения.
Оптимизационная задача – это математическая задача, заключающаяся в нахождении оптимального (т.е. максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений (ОДЗ).
В общем виде
постановка экстремальной задачи
математического программирования
состоит в определении наибольшего или
наименьшего значения функции
,
называемой целевой
функцией,
при условиях (ограничениях)
,
где
и
– заданные функции, а
– заданные постоянные величины. При
этом ограничения в виде равенств и
неравенств определяют множество
(область) допустимых решений (ОДР), а
– называют проектными
параметрами.
В зависимости от вида функций и задачи математического программирования делятся на ряд классов (линейной, нелинейное, выпуклое, целочисленное, стохастическое, динамическое программирование и др.).
В общем виде задача ЛП имеет следующий вид:
,
(5.1)
,
,
(5.2)
,
,
(5.3)
(5.4)
где
,
,
– заданные постоянные величины.
Функцию (5.1) называют целевой функцией; системы (5.2), (5.3) – системой ограничений; условие (5.4) – условием неотрицательности проектных параметров.
Совокупность
проектных параметров
,
удовлетворяющих ограничениям (5.2), (5.3)
и (5.4), называют допустимым
решением
или планом.
Оптимальным
решением
или оптимальным
планом задачи
ЛП называется допустимое решение
,
при котором целевая функция (5.1) принимает
оптимальное (максимальное или минимальное)
значение.
Стандартной
задачей ЛП
называют задачу нахождения максимального
(минимального) значения целевой функции
(5.1) при условии (5.2) и (5.4), где
,
,
т.е. т.е. ограничения только в виде
неравенств (5.2) и все проектные параметры
удовлетворяют условию неотрицательности,
а условия в виде равенств отсутствуют:
,
,
,
(5.5)
.
Канонической (основной) задачей ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.3) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде равенств (5.3) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде неравенств отсутствуют:
,
, , (5.6)
.
Каноническую задачу ЛП можно также записать в матричной и векторной форме.
Матричная форма канонической задачи ЛП имеет следующий вид:
,
,
(5.7)
,
где
,
,
.
Векторная форма канонической задачи ЛП:
,
,
(5.8)
,
где С, X, Ai, B – векторы:
,
,
,
(
),
,
–
скалярное
произведение векторов C
и X.
Векторное неравенство означает, что все компоненты вектора Х неотрицательны, т.е. .
Все три формы задачи ЛП эквивалентны, т.к. каждая из них с помощью некоторых преобразований может быть переписана в любую форму. При этом необходимо использовать следующие правила:
1. Задачу минимизации
функции можно свести к задаче максимизации
и наоборот путем замены знаков
коэффициентов
на противоположные, поскольку
.
2. Ограничения-неравенства (5.2) можно заменить эквивалентными ограничениями-равенствами путем введения дополнительных неотрицательных переменных.
Теорема 5.1.
Любому решению
неравенства
(5.9)
соответствует
определенное решение
уравнения
(5.10)
в котором
(5.11)
и, наоборот, каждому решению уравнения (5.10) и неравенства (5.11) соответствует определенное решение неравенства (5.9).
Таким образом,
если ограничения-неравенства вида
,
то можно преобразовать в ограничение-равенство
вида
.
При
ограничении-неравенстве вида
,
то можно преобразовать в ограничение-равенство
вида
.
При переходе от
ограничения-равенства к ограничению-неравенству
необходимо выразить одну из переменных
через остальные, затем исключить ее с
переходом к неравенству, при этом, если
коэффициент при данной переменной +1,
то переходим к неравенству вида
,
а если –1, то
.
3. Каждое
ограничение-равенство вида
можно
записать в виде двух неравенств:
, . (5.12)
4. Переменная
,
не ограниченная условием неотрицательности
можно заменить разностью двух
дополнительных неотрицательных
переменных:
.
(5.13)