11.3. Задача распределения ресурсов

Имеется определенное количество ресурсов s₀, которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x_i ( ; ) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x_i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f_i(x_i) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть s_k ( ) – параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n – k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:

(11.11)

Введем в рассмотрение функцию – условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1)-го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме s_k-1 ( ). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .

Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:

(11.12)

Далее по полученным результатам условной оптимизации можно определить оптимальное распределение ресурсов по следующей схеме:

Пример 11.1. Имеется определенное количество ресурсов s₀=400, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x_i ( ; ) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x_i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f_i(x_i) ( ) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):

;

Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Решение

Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):

(11.13)

Определим условные максимумы в соответствии с (11.3), результаты расчетов представлены в таблице (11.1).

Таблица 11.1

Расчет условных оптимумов

sk-1	xk	sk	k=3			k=2			k=1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
80	0	80	0+27=27	35	80	0+35=35	35	0	0+35=35	35	0
	80	0	35+0=35			28+0=28			30+0=30
160	0	160	0+73=73	73	0	0+73=73	73	0	0+73=73	73	0
	80	80	35+27=62			28+35=63			30+35=65
	160	0	67+0=67			62+0=62			57+0=57
240	0	240	0+125=125	130	240	0+130=130	130	0	0+130=130	130	0
	80	160	35+73=108			28+73=101			30+73=103
	160	80	67+27=94			62+35=97			57+35=92
	240	0	130+0=130			122+0=122			120+0=120
320	0	320	0+152=152	160	80	0+160=160	160	0	0+160=160	160	0 (80)
	80	240	35+125=160			28+130=158			30+130=160
	160	160	67+73=140			62+73=135			57+73=130
	240	80	130+27=157			122+35=157			120+35=155
	320	0	144+0=144			146+0=146			150+0=150
400	0	400	0+178=178	203	240	0+203=203	203	0	0+203=203	203	0
	80	320	35+152=187			28+160=198			30+160=190
	160	240	67+125=192			62+130=192			57+130=187
	240	160	130+73=203			122+73=195			120+73=193
	320	80	144+27=171			146+35=181			150+35=185
	400	0	180+0=180			175+0=175			180+0=180

По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:

Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:

, которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 203 усл. ден. ед.

Ответ: оптимальное распределение ресурсов: , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 203 усл. ден. ед.