6.5. Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ является одним из наиболее широко применяемых комбинаторных методов. Данный метод можно представить в виде следующих этапов:

1 этап: решение исходной задачи с ослабленными ограничениями симплекс-методом.

Пусть задана исходная задача линейного целочисленного программирования (6.1). Данная задача решается, к примеру, симплекс-методом без учета условий целочисленности проектных параметров (задача с ослабленными ограничениями).

Если найденные оптимальные значения проектных параметров, на которые распространяется условие целочисленности в задаче (6.1), являются целыми числами, то данный план будет оптимальным и для исходной задачи линейного целочисленного программирования. Если задача с ослабленными ограничениями не разрешима, то и исходная задача линейного целочисленного программирования также не разрешима.

Если среди найденных оптимальных значений проектных параметров, в отношении которых распространяется условие целочисленности в исходной задаче, имеются дробные значения, то переходят к следующему этапу. Для последующего сравнительного анализа введем переменную F₀, которой условно присвоим F₀:= – ∞ в случае максимизации целевой функции или F₀:= + ∞ в случае минимизации целевой функции.

2 Этап: формирование исключаемой области.

Среди найденных оптимальных дробных значений проектных параметров, в отношении которых распространяется условие целочисленности в исходной задаче, выбирают одну из компонент (для удобства рекомендуется отбор осуществлять по порядку следования в оптимальном решении либо в порядке убывания величины дробной части), на основе которой устанавливается исключаемая область:

, (6.24)

где – оптимальное дробное значение компонента , в отношении которого распространяется условие целочисленности; – целая часть .

3 Этап: формирование и решение задач с дополнительными ограничениями.

В результате на основе исходной задачи с ослабленными ограничениями получают две самостоятельные задачи, отличающиеся от нее следующими дополнительными ограничениями:

1) ; 2) .

Решая полученные задачи, определяем их оптимальные решения.

Если в результате решения какой-либо задачи получен нецелочисленный оптимальный план, для которого (или в случае минимизации целевой функции), то данная задача исключается из списка. Если (или в случае минимизации целевой функции), то из данной задачи формируются новые две задачи в соответствии с этапами 2-3.

Если полученное решение X^* удовлетворяет условию целочисленности и (или в случае минимизации целевой функции), то F₀ присваивается оптимальное значение данной задачи , т.е. .

Процесс продолжается до тех пор, пока список задач не будет исчерпан. В качестве оптимального решения исходной целочисленной задачи принимается решение задачи, которой соответствует максимальное .

Пример 6.3. Решить следующую задачу целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ:

Решение:

I итерация

1 этап: решение исходной задачи с ослабленными ограничениями.

Решая исходную задачу с ослабленными ограничениями (условно обозначим ее (1)) получим следующее оптимальное решение: .

Рис. 6.1. Решение задачи (1)

Данный план не удовлетворяет условию целочисленности исходной задачи (оптимальное значение переменной является дробным).

Для последующего сравнительного анализа введем переменную F₀, условно примем F₀:= – ∞.