6.4. Метод Гомори

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

оно должно быть линейным;

должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называют правильным отсечением.

Далее задача решается с учетом нового ограничения. После этого в случае необходимости добавляется еще одно ограничение и т.д.

Одним из методов отсечения является метод Гомори, который можно представить в виде следующих этапов:

1 этап: решение исходной задачи с ослабленными ограничениями симплекс-методом.

Пусть задана исходная задача линейного целочисленного программирования (6.1). Данная задача решается симплекс-методом без учета условий целочисленности проектных параметров (задача с ослабленными ограничениями). Если найденные оптимальные значения проектных параметров, обладающих условиями целочисленности, являются целыми числами, то данный план будет оптимальным и для исходной задачи линейного целочисленного программирования. Если задача с ослабленными ограничениями не разрешима, то и исходная задача линейного целочисленного программирования также не разрешима.

2 Этап: формирование правильного отсечения.

Если среди найденных оптимальных значений проектных параметров, обладающих условиями целочисленности, имеются дробные значения, то среди них выбирают компоненту с наибольшей дробной частью и по соответствующему уравнению системы формируют правильное отсечение:

, (6.22)

где S – множество индексов свободных переменных;

(6.23)

, – коэффициенты при свободных переменных и свободное число, соответствующие строке с выбранной компонентой, имеющей наибольшую дробную часть (берутся со своими знаками из последней симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение). Величина в фигурных скобках обозначает дробную часть данной величины³.

Z – множество целых чисел.

3 Этап: корректировка исходной задачи с ослабленными ограничениями с учетом правильного отсечения.

Правильное отсечение (6.22) введением дополнительной неотрицательной переменной преобразовывается в равносильное уравнение и включается в систему ограничений задачи (6.1).

4 Этап: решение скорректированной задачи.

Полученная расширенная задача решается симплекс-методом. Если найденный план удовлетворяет условию целочисленности, то задача целочисленного линейного программирования (6.1) решена. В противном случае повторяются этапы 2-4.

Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.

Примечание: Если в процессе решения задачи линейного целочисленного программирования, заданной изначально в канонической форме и являющейся полностью целочисленной, появится уравнение (выражающее основную переменную через свободные) с дробным свободным членом и целыми коэффициентами при свободных переменных, то данное уравнение не имеет решение в целых числах. В данном случае и исходная задача линейного целочисленного программирования не имеет целочисленного оптимального решения.

Пример 6.2. Решить следующую задачу целочисленного линейного программирования методом Гомори:

.

Решение: