
- •Содержание
- •7.1. Основные понятия и определения 114
- •11. Задачи динамического программирования 127
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Классификация экономико-математических моделей
- •3. Обобщенный алгоритм построения эмм
- •4. Метод Жордана-Гаусса
- •Табличная форма представления системы линейных уравнений
- •5. Задачи линейного программирования
- •5.1. Свойства задач лп
- •5.2. Графический (геометрический) метод решения задач лп
- •2 Этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.
- •4 Этап: построение вектора-градиента.
- •5 Этап: построение прямой целевой функции.
- •6 Этап: определение оптимума целевой функции.
- •2 Этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.
- •3 Этап: определение одр задачи линейного программирования.
- •Построение области допустимых решений задачи
- •5.3. Симплекс-метод решения задач лп
- •Представление исходной задачи в виде симплекс таблицы.
- •Исходная симплекс-таблица
- •2. Определение базисного решения.
- •3. Проверка совместности системы ограничений.
- •4. Проверка ограниченности целевой функции.
- •5. Проверка допустимости базисного решения.
- •6. Проверка оптимальности найденного базисного решения.
- •7. Проверка альтернативности найденного оптимального решения.
- •8. Определение разрешающего элемента.
- •8.1. Определение разрешающей колонки.
- •8.2. Определение разрешающей строки.
- •8.3. Определение разрешающего элемента.
- •9. Преобразование симплекс-таблицы.
- •I итерация:
- •1 Этап: формирование исходной симплекс-таблицы.
- •8.2. Определение разрешающей строки.
- •II итерация:
- •1 Этап: составление симплекс-таблицы.
- •Симплекс-таблица II итерации
- •Симплекс-таблица II итерации
- •9 Этап: преобразование симплекс-таблицы.
- •III итерация
- •1 Этап: построение новой симплекс-таблицы.
- •Симплекс-таблица III итерации
- •Симплекс-таблица III итерации
- •9 Этап: преобразование симплекс-таблицы.
- •IV итерация
- •1 Этап: построение новой симплекс-таблицы.
- •Симплекс-таблица IV итерации
- •I итерация:
- •1 Этап: формирование исходной симплекс-таблицы.
- •I итерация
- •1 Этап: составление исходной симплекс-таблицы.
- •2 Этап: определение базисного решения.
- •3 Этап: проверка совместности системы ограничений злп.
- •5.4. Двойственные задачи лп
- •5.5. Двойственный симплекс-метод решения задач лп
- •Симплекс-таблица оптимального решения исходной задачи
- •Симплекс-таблица оптимального решения исходной задачи
- •6. Задачи целочисленного (дискретного) лп
- •6.1. Задачи лп транспортного типа
- •6.2. Метод потенциалов
- •1. Проверка сбалансированности запасов и потребностей.
- •2. Разработка исходного опорного плана.
- •3. Проверка вырожденности опорного плана.
- •4. Расчет потенциалов.
- •5. Проверка плана на оптимальность.
- •6. Поиск «вершины максимальной неоптимальности» (вмн).
- •7. Построение контура перераспределения поставок.
- •8. Определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
- •9. Получение нового опорного плана.
- •I итерация:
- •1 Этап: проверка сбалансированности запасов и потребностей.
- •2 Этап: разработка исходного опорного плана.
- •3 Этап: проверка вырожденности опорного плана.
- •4 Этап: расчет потенциалов.
- •5 Этап: проверка плана на оптимальность.
- •6 Этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (вмн).
- •7 Этап: построение контура перераспределения поставок.
- •8 Этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
- •9 Этап: получения нового опорного плана.
- •II итерация:
- •1 Этап: проверка вырожденности опорного плана.
- •2 Этап: расчет потенциалов.
- •3 Этап: проверка плана на оптимальность.
- •4 Этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (вмн).
- •5 Этап: построение контура перераспределения поставок.
- •6 Этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
- •7 Этап: получения нового опорного плана.
- •III итерация:
- •1 Этап: проверка вырожденности опорного плана.
- •2 Этап: расчет потенциалов.
- •3 Этап: проверка плана на оптимальность.
- •4 Этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (вмн).
- •5 Этап: построение контура перераспределения поставок.
- •6 Этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.
- •7 Этап: получения нового опорного плана.
- •VI итерация:
- •1 Этап: проверка вырожденности опорного плана.
- •2 Этап: расчет потенциалов.
- •3 Этап: проверка плана на оптимальность.
- •6.3. Варианты заданий
- •6.4. Метод Гомори
- •2 Этап: формирование правильного отсечения.
- •3 Этап: корректировка исходной задачи с ослабленными ограничениями с учетом правильного отсечения.
- •4 Этап: решение скорректированной задачи.
- •I итерация
- •2 Этап: формирование правильного отсечения.
- •3 Этап: корректировка исходной задачи с ослабленными ограничениями с учетом правильного отсечения.
- •4 Этап: решение скорректированной задачи.
- •II итерация
- •1 Этап: формирование правильного отсечения.
- •2 Этап: корректировка исходной задачи с ослабленными ограничениями с учетом правильного отсечения.
- •3 Этап: решение скорректированной задачи.
- •6.5. Метод ветвей и границ
- •2 Этап: формирование исключаемой области.
- •3 Этап: формирование и решение задач с дополнительными ограничениями.
- •I итерация
- •2 Этап: формирование исключаемой области.
- •3 Этап: формирование и решение задач с дополнительными ограничениями.
- •II итерация
- •1 Этап: формирование исключаемой области.
- •2 Этап: формирование и решение задач с дополнительными ограничениями.
- •7. Теория игр
- •7.1. Основные понятия и определения
- •7.2. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры
- •Платежная матрица
- •Платежная матрица игры «поиск»
- •Платежная матрица игры
- •7.3. Решение игр в смешанных стратегиях
- •7.4. Правило доминирования
- •11.2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана
- •11.3. Задача распределения ресурсов
- •Расчет условных оптимумов
- •11.4. Задача замены оборудования
- •Исходные данные
- •Коэффициенты, учитывающие инфляцию
- •Зачетно-экзаменационные вопросы
- •1. Теоретические тестовые вопросы
- •2. Теоретические тестовые вопросы по MathCad
- •3. Практические тестовые вопросы
- •1. Вопросы по системам линейных уравнений и методу Жордана-Гаусса:
- •2. Вопросы по формам задач линейного программирования:
- •3. Вопросы по свойствам задач линейного программирования и геометрическому методу их решения:
- •4. Вопросы по симплекс-методу решения задач линейного программирования:
- •5. Вопросы по составлению двойственных задач линейного программирования:
6.2. Метод потенциалов
Наиболее распространенным методом решения задач ЛП транспортного типа является метод потенциалов, состоящий из следующих этапов:
1) проверка сбалансированности запасов и потребностей;
2) разработка исходного опорного плана;
3) проверка вырожденности опорного плана;
4) расчет потенциалов;
5) проверка плана на оптимальность;
6) поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН);
7) построение контура перераспределения поставок;
8) определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру;
9) получение нового опорного плана.
Этапы 3-9 повторяются, пока не будет найдено оптимальное решение.
Рассмотрим перечисленные этапы.
1. Проверка сбалансированности запасов и потребностей.
В соответствии с теоремой 6.1 проверяется условие сбалансированности запасов поставщиков и потребностей потребителей.
Если транспортная задача открытого типа, то
а) если суммарная потребность потребителей превышает суммарные запасы складов-поставщиков, то вводится фиктивный склад-поставщик, запас которого определяется по формуле (6.8).
б) если суммарные запасы складов-поставщиков превышают суммарную потребность потребителей, то вводится фиктивный потребитель, потребность которого определяется по формуле (6.9).
При этом стоимости перевозок для каждой фиктивной пары склад-поставщик – потребитель принимаются, как правило, равными нулю.
2. Разработка исходного опорного плана.
Для отыскания исходного опорного плана используют метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости и др.
Метод «северо-западного угла»
Рассматривается незаполненная левая верхняя («северо-западная») клетка таблицы поставок. Данная ячейка заполняется минимальным значением от возможного объема поставок и объема потребностей. В результате или будут удовлетворены все потребности, или исчерпаны запасы поставщика. Если удовлетворены потребности, то остальные клетки этой колонки вычеркиваются и в последующих распределениях не участвуют.
Если исчерпаны запасы поставщика, то зачеркиваются остальные клетки соответствующей строки, и они не участвуют в последующих распределениях.
Затем рассматривается очередная незаполненная левая верхняя ячейка, и итерации повторяются.
Не смотря на простоту, данный метод не учитывает стоимость перевозок, и поэтому исходный план может оказаться далеким от оптимального. Данный недостаток позволяет устранить метод минимальной стоимости.
Метод «минимальной стоимости»
В таблице поставок отыскивается клетка с минимальной стоимостью перевозок:
.
(6.12)
При этом из двух клеток с одинаковой стоимостью перевозок предпочтение отдается клетке, через которую осуществляется больший объем перевозок. Данная клетка заполняется минимальным значением от возможного объема поставок и объема потребностей. В результате либо будут удовлетворены потребности, либо исчерпаны запасы.
Если удовлетворены потребности, то остальные клетки этой колонки вычеркиваются и в последующих распределениях не участвуют.
Если исчерпаны запасы поставщика, то зачеркиваются остальные клетки соответствующей строки, и они не участвуют в последующих распределениях.
Затем из всех незаполненных клеток находится очередная клетка с минимальной стоимостью, итерации повторяются.
После того, как будет найден опорный план, по нему вычисляют значение целевой функции (6.6).