Симплекс-таблица оптимального решения исходной задачи

СП БП
	3	-1/3	5/3	-1/3	2/3
	3	1/3	4/3	-2/3	1/3
	12	5/3	23/3	-7/3	5/3

Примечание: при проверке признаков несовместности системы ограничений, неограниченности целевой функции, оптимальности найденного допустимого базисного решения, а также определении разрешающего элемента, колонки фиктивных переменных не учитываются.

В соответствии с теоремой 5.6, оптимальные значения переменных и будут равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.

Так как переменные , не ограничены по знаку, то их оптимальные значения будут равны значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные ее оптимального решения.

По таблице 9.5 выпишем целевую функцию исходной задачи, выраженную через свободные переменные ее оптимального решения:

.

Согласно таблице соответствия переменных (таблица 9.4):

, , , .

Переменные и не присутствуют в целевой функции (т.е. коэффициенты при них равны нулю), следовательно, оптимальные значения соответствующих им переменных и равны нулю.

В соответствии с теоремой 5.5: .

Таким образом, оптимальное значение целевой функции , которое достигается при .

6. Задачи целочисленного (дискретного) лп

По смыслу значительной части экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т.е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования и т.д.

В общем виде задача целочисленного линейного программирования имеет следующий вид:

,

, , (6.1)

, ,

.

Если требование целочисленности распространяется на все переменные, то задачу целочисленного программирования называют полностью целочисленной. Если требование целочисленности относится лишь к части переменных, то задачу называют частично целочисленной.

Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: 1) методы отсечения; 2) комбинаторные методы; 3) приближенные методы.

6.1. Задачи лп транспортного типа

Задачи линейного программирования транспортного типа образуют широкий круг задач, общим для которых является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов.

Классическая транспортная задача имеет следующий вид.

Имеются m пунктов (складов) отправления груза (некоторого однородного ресурса), запасы в каждом из которых составляют соответственно a₁, a₂, …, a_m. Известна потребность в грузах b₁, b₂, …, b_n по каждому из n пунктов назначения (потребителей).

Задана матрица стоимостей доставки по каждому варианту (паре склад-поставщик – потребитель): , где – себестоимость перевозки единицы груза от i-го склада-поставщика до j-го потребителя.

Необходимо построить оптимальный план перевозок, т.е. определить, сколько груза должно быть отправлено из каждого i-го склада-поставщика каждому j-му потребителю с учетом минимизации транспортных затрат.

Пусть x_ij ( ) – искомый объем транспортируемого груза от i-го склада-поставщика j-му потребителю.

Исходные данные по задаче удобно представлять в виде следующей таблицы, которую называют таблицей поставок или транспортной таблицей.

Таблица 6.1

Таблица поставок

Потребители Поставщики	B1	B2	…	Bn	Запасы поставщиков
A1	c11 x11	c12 x12	…	c1n x1n	a1
A2	c21 x21	c22 x22	…	c2n x2n	a2
			…
Am	cm1 xm1	cm2 xm2	…	cmn xmn	am
Потребности потребителей	b1	b2	…	bn

Задача линейного программирования транспортного типа называется закрытой, если суммарные запасы поставщиков равны суммарной потребности потребителей, т.е.

. (6.2)

Если такое равенство не соблюдается, то задача является открытой.

Для того чтобы потребности всех потребителей были удовлетворены, необходимо выполнение следующей системы условий:

. (6.3)

Аналогично, для того чтобы были задействованы все запасы складов-поставщиков, необходимо выполнение следующей системы условий:

. (6.4)

По своей сущности искомые переменные не могут быть отрицательными величинами, т.е.

(6.5)

Введем функцию, отражающие суммарные транспортные затраты:

. (6.6)

Таким образом, математическая модель данной задачи будет иметь вид:

,

,

, (6.7)

,

.

Необходимо определить такой план перевозок , удовлетворяющий системам (6.3), (6.4), условию (10.5), при котором суммарные транспортные затраты будут минимальными, т.е. минимизирующий целевую функцию (6.6).

Примечания:

1) Теорема 6.1. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (6.2).

Поэтому если транспортная задача открытого типа, то

а) при (т.е. если суммарная потребность потребителей превышает суммарные запасы складов-поставщиков) вводится фиктивный склад-поставщик, запас которого составляет:

. (6.8)

б) при (т.е. если суммарные запасы складов-поставщиков превышают суммарную потребность потребителей) вводится фиктивный потребитель, потребность которого составляет

. (6.9)

При этом стоимости перевозок для каждой фиктивной пары склад-поставщик – потребитель принимаются, как правило, равными нулю.

2) Теорема 6.2. Ранг r системы уравнений (6.3), (6.4) при условии (6.2) равен:

. (6.10)

Следовательно, опорный план (базисное решение) транспортной задачи должен содержать отличных от нуля неизвестных. Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно , то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

3) Рассмотренная транспортная задача является по своей сути целочисленной, так как перевозимые грузы в большинстве случаев представляют собой упаковки, ящики, контейнеры и т.д.

Один из важнейших теоретических результатов исследования операций может быть сформулирован следующим образом:

Теорема 6.3. Если для транспортной задачи (6.7) выполняются условия

и , (6.11)

(где N – множество натуральных чисел), то в любом ее допустимом базисном решении базисные переменные принимают значения из множества , т.е. являются целыми положительными числами или равны нулю.

Поскольку оптимальное решение транспортной задачи (6.7) является допустимым, то при выполнении условий (6.11) оно удовлетворяет требованию целочисленности. Следовательно, условие целочисленности переменных в транспортной задаче (6.7) можно опустить.

4) В модели (6.7) вместо матрицы стоимостей перевозок (С) может задаваться матрица расстояний. В данном случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы.