33. Механическое истолкование второй производной

Скорость – это производная координаты по времени. v ( t0 ) = x’ ( t0 )

Ускорение – это производная скорости по времени.  a = v’ ( t ).

Ускорение – это вторая производная координаты по времени. a = x’’(t0)

34. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть   .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной    второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции   :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по    следует рассматривать как постоянный множитель.

35. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций на промежутке

Необходимое и достаточное условие постоянства функции y = f ( x ) выражается равенством y ’ = 0.

Если производная функции на участке существует и равна нулю и функция определена на данном участке, то функция на данном участке постоянна.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых двух значений x1 и x2 из неравенства x1<x2 следует неравенство f(x1)<f(x2).

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке (a,b), если для любых двух значений x1 и x2 из неравенства x1<x2 следует неравенство f(x1)>f(x2).

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

36. Нахождение максимумов и минимумов функции с помощью производных

Определение: Говорят, что функция   имеет в точке   максимум , ( или минимум) , если существует некоторая окрестность   в промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство  (  ).

Пусть функция   определена на некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная   , то необходимо  . Определение: Если выполняется равенство  , то точку   будем называть стационарной точкой. Определение: Стационарные точки и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, будем называть точками, подозрительными на экстремум.

Предположим, что в некоторой окрестности   стационарной точки   существует конечная производная   и как слева от  ,так и справа от   ( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1)   при   и   при   (производная   при переходе через точку   меняет свой знак с плюса на минус). Т.е. при   функция возрастает, а при   — убывает. Значит, значение   будет наибольшим в промежутке  . Другими словами, в точке   функция имеет максимум. Пояснение: Сверху от числовой оси указывается знак производной на соответствующем интервале, снизу от числовой оси обозначается поведение функции на соответствующем интервале (убывание или возрастание). 2)   при   и   при  (производная   при переходе через точку   меняет свой знак с минуса на плюс). Т.е. при   функция   убывает, а при   — возрастает. Значит, значение   будет наименьшим в промежутке   . Другими словами, в точке   функция имеет минимум. 3)   при   и   при   (   при   и   при  )(производная   при переходе через точку   не меняет свой знак). Т.е. функция   в промежутке   убывает (возрастает). Другими словами, в точке   функция   не имеет экстремума.