13. Предел функции

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

14. Свойства пределов функции, связанные с арифметическими действиями и неравенствами.

• Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

• Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

• Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

• Константу можно выносить за знак предела:

• Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

15. Предел сложной функции

Если функция y=f(x) имеет в точке a конечный предел b и не принимает значение b в некоторой проколотой окрестности U(a) этой точки, а функция g(y) имеет в точке конечный предел c, то сложная функция g(f(x)) имеет предел в точке a и он равен c.

16. Односторонние пределы

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

17. Предел монотонной функции.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда не отрицательное, либо всегда не положительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a;b], то в каждой точке x (a;b) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках a и b правосторонний и левосторонний пределы.

18. Бесконечно большие, бесконечно малые и эквивалентные величины, о- символика.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Если  , то бесконечно малые или бесконечно большие величины   и   называются эквивалентными (обозначается как  ).

«O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.

o(f), «о малое от f» обозначает «бесконечно малое относительно f», пренебрежимо малую величину при рассмотрении f. Смысл термина «О большое» зависит от его области применения, но всегда O(f) растёт не быстрее, чем f.