16. Дискретные законы автоматического регулирования: релейный и импульсный.

П од законом регулирования в автоматике понимают математическую зависимость, по которой автоматическое управляющее устройство (АУУ) – регулятор воздействует на объект управления, т.е. зависимость между управляющим воздействием U(t) и разницей между заданным значение y₀(t) и реальным значением y(t) управляемой величины : .

По способу передачи управляющего воздействия на объект управления законы регулирования делятся на непрерывные и дискретные. В системах регулирования с непрерывным законом регулирования управляющее воздействие U(t) непрерывно во времени. Если же, в процессе работы системы, при непрерывном сигнале ошибки  управляющее воздействие U(t) прерывается в некоторые промежутки времени или подается в форме отдельных импульсов, то такой закон регулирования называется дискретным. Наиболее простыми и самыми распространенными являются системы автоматического регулирования, использующие разновидность дискретного закона регулирования – релейный двухпозиционный закон регулирования. При этом законе управляющее воздействие, в зависимости от значения ошибки , может принимать только два фиксированных значения: включено – выключено, вверх – вниз, вперед – назад и т.д. На рис. 1.6а показана данная зависимость. Релейный закон регулирования технически легко реализовать, он наиболее часто встречается в повседневной жизни. На его основе построена работа таких устройств бытовой техники, как, например, холодильник, электроутюг, обогреватель и т.д. Для его реализации необходим датчик с релейным выходом, т.е. датчик должен скачкообразно изменять выходную величину в зависимости от изменения управляемой величины. На рис. 1.6б показана схема автоматического регулирования температуры воды электрического водонагревателя с релейным законом регулирования. Для измерения температуры воды используется биметаллический датчик, состоящий из биметаллической пластинки и электрических контактов SK. Вода нагревается ТЭНом, который включается с помощью магнитного пускателя KM. При достижении заданной температуры, биметаллическая пластинка датчика нагревается и соответственно изгибается, размыкая электрический контакт SK, который включен в цепь катушки магнитного пускателя KM. Магнитный пускатель отключает ТЭН и вода начинает охлаждаться. При охлаждении до определенной температуры биметаллическая пластинка выпрямляется и замыкает контакт в цепи катушки магнитного пускателя. Процесс нагрева повторяется и т.д. На рис.1.6в показана кривая изменения температуры воды при подобном законе регулирования. Из нее видно, что управляемая величина (температура) не постоянна во времени, а все время колеблется относительно некоторой средней величины. Амплитуда этих колебаний зависит от свойств объекта управления (его инерционности) и может достигать значительной величины. Таким образом, релейный закон регулирования не обеспечивает достаточной точности регулирования.

16. Математическое описание систем автоматического регулирования в динамическом режиме. Понятие передаточной функции. Комплексная передаточная функция и частотные характеристики.

При исследовании и расчетах систем автоматического регулирования используется операционная форма записи. Она основана на использовании преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа позволяет функцию x(t) одного переменного ( времени t) преобразовать в функцию другого переменного x(s) (s=a+jb – комплексное число) посредством соотношения . Функция x(t) называется оригиналом, а x(s) – изображением. Сокращенно преобразование Лапласа записывается как . Обратная операция, т.е. нахождение функции x(t) по ее изображению x(s) называется обратным преобразованием Лапласа: . При использовании преобразования Лапласа первая производная от x будет иметь изображение , вторая , третья и т.д. Интеграл от будет иметь изображение . Если применить преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, то при нулевых начальных условиях оно примет вид . Это уравнение — алгебраическое, в нем s является независимой комплексной переменной, а величины х(s) и y(s) являются только изображениями физических величин х (t) и y (t). Символ s является алгебраическим числом.

Операционная форма записи уравнений элементов проста и удобна, так как преобразовать и решить алгебраическое уравнение несравненно проще, чем дифференциальное. Именно это и обеспечило ее широкое применение в теории автоматического управления.

Для оценки динамики систем может служить также операционное уравнение, из которого получается передаточная функция - отношение изображения выходной величины к изображению входной величины системы. Если, например, операционное уравнение имеет вид , то передаточная функция системы .

Если на вход линейной и устойчивой разомкнутой системы подать гармоническое возмущение, то по истечении времени протекания переходного процесса на выходе ее также установится гармоническое изменение выходной величины. По полученным значения x и y для различных значений частоты  получают частотные характеристики: амплитудную, частотную и амплитудно -фазовую. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) есть зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе Y_m к амплитуде колебаний на входе X_m от частоты колебаний : . Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) отражает зависимость фазового угла сдвига между входными и выходными колебаниями . Частотные характеристики можно определить, если известна передаточная функция звена W(s). . Поэтому, если положить , то можно записать выражение . Таким образом, если в выражение для передаточной функции подставить чисто мнимое значение ее переменной , то получим ее форму, называемую частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой . Функция при каждом значении частоты  является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательной форме: , где , и называют соответственно модулем и аргументом частотной передаточной функции. В алгебраической форме функция может быть представлена как: , где, соответственно, — вещественная, а — мнимая части функции. Амплитудно-частотная характеристика является модулем этой комплексной функции: , а фазо- частотная характеристика определяется как .