1.2. Законы идеальных газов

В XVII—XIX-x столетиях исследователями, изучавшими поведение газов при давлениях, близких к атмосферному, опытным путем были установлены важнейшие закономерности.

В 1662 г. Р. Бойлем, а в 1676 г. независимо от него Э. Мариоттом было доказано, что при постоянной температуре произведение давления газа на его объем постоянно, т. е. в изотермическом процессе расширения или сжатия газа

Иначе говоря, при постоянной температуре удельные объемы газа обратно пропорциональны его давлениям:

и

(при Т = const),

где v₁ и v₂ — удельные объемы в начальном и конечном состояниях газа;

р₁ и р₂ — соответствующие им давления.

В 1802 г. французский ученый Гей-Люссак открыл закон, согласно которому объем данной массы газа при постоянном давлении меняется линейно с температурой, т. е. для начального и конечного состояний газа

За 15 лет до того, как Гей-Люссак открыл свой закон, французский физик Шарль доказал, что при постоянном удельном объеме изменение давления газа прямо пропорционально его абсолютным температурам:

(при v = const),

или

1.3. Уравнение состояния идеальных газов

Законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака и Шарля устанавливают связь только между двумя из трех основных параметров газа р, v и Т при условии, что значение третьего параметра остается постоянным. Уравнение состояния идеального газа устанавливает связь между всеми тремя основными его параметрами.

Допустим, что идеальный газ, заключенный в цилиндре с поршнем имеет параметры p₁, v₁ и T₁, (рис. 2, а). Если уменьшить давление газа в цилиндре и подвести к нему некоторое количество теплоты, то газ перейдет в новое состояние, где будут иметь место параметры р₂, v ₂ и Т₂ (рис. 2, б).

Рис. 2. Иллюстрация уравнения состояния идеального газа

Чтобы установить связь между начальным и конечным состояниями газа, осуществим переход из первого состояния в последнее двумя промежуточными операциями. Сначала уменьшим давление газа от р₁ до р₂, поддерживая температуру T₁ постоянной путем подвода теплоты к газу. Тогда газ окажется в промежуточном состоянии (рис. 2, в) и будет иметь параметры р₂, v₃ и T₁. Затем будем подогревать газ так, чтобы он продолжал расширяться, сохраняя свое давление неизменным, его температура при этом повысится до Т₂ (рис. 2, б).

Сопоставим эти три состояния газа. Так как в первом состоянии и третьем температуры одинаковы, то между удельными объемами и давлением газа в этих состояниях должна по закону Бойля—Мариотта существовать следующая связь:

,

тогда

.

Так как в третьем и втором состояниях давления одинаковы, то по закону Гей-Люссака

откуда

Тогда

или

.

Таким образом, отношения произведений давления на удельный объем к абсолютной температуре в любом состоянии газа равны между собой:

Эту постоянную величину называют удельной газовой постоянной. Обозначив ее буквой R, получим

или

. (1.1)

Уравнение (1.1) называется уравнением идеального газа, или уравнением Клайперона.

Для использования уравнения Клайперона необходимо определить численное значение газовой постоянной для данного газа по справочным материалам. Газовая постоянная становится универсальной, т. е. одинаковой для всех газов, если количество газа выразить в киломолях. Умножив левую и правую часть уравнения (1.1) на мыссу 1 кмоля, получим:

,

где μ — молекулярная масса газа.

На основании закона А. Авогадро, который устанавливает, что при одинаковых температурах и одинаковых давлениях равные объемы различных идеальных газов содержат одинаковое число молекул, было установлено значение универсальной газовой постоянной:

.

Для 1 кмоля газа уравнение состояния можно представить как

(1.2)

где V_μ — объем 1 кмоль газа.

Уравнение (1.2) носит название уравнения Клайперона— Менделеева. Зная значение относительной молекулярной массы μ, можно определить газовую постоянную любого газа:

Теплоемкость газов

Теплоемкостью газа, как и любого другого тела, называется количество теплоты, необходимое для нагрева тела на один градус.

Теплоемкость единицы количества вещества называется удельной теплоемкостью. Так как в термодинамике рассматривается главным образом удельная теплоемкость, то ее можно называть просто теплоемкостью.

Если единице количества вещества сообщить (или отвести от нее) какое-то количество теплоты (q) и если при этом происходит изменение температуры данного вещества от Т₁ до Т₂, то отношение теплоты q к разности данных температур представляет собой среднюю теплоемкость (с) газа в пределах от Т₁ до Т₂:

следовательно,

(1.3)

Теплоемкость вещества и в частности газа зависит от его природных свойств, а также от условий, в которых происходит процесс изменения его состояния, от температуры, а для реальных газов и от давления.

Теплоту можно подводить к рабочему телу различными способами. В термодинамике широко используется два способа подведения теплоты:

1) при постоянном удельном объеме (изохорный способ);

2) при постоянном давлении рабочего тела (изобарный способ).

Изохорный подвод теплоты происходит в цилиндре с неподвижным поршнем, изобарный — в цилиндре с подвижным поршнем при увеличении объема, давление при этом остается постоянным.

Величина q в соответствии с формулой (1.3) зависит не только от соотношения температур, но и от способа подвода теплоты. Поэтому различают теплоемкость при постоянном объеме с_v (изохорная теплоемкость) и теплоемкость при постоянном давлении с_р (изобарная теплоемкость).

Первый закон термодинамики

Первый закон термодинамики: теплота может превращаться в механическую работу, а работа в теплоту лишь в строго эквивалентных количествах, причем количество теплоты, полученное рабочим телом от какого-либо источника тепла, равно сумме приращения внутренней энергии этого тела и количества совершенной им работы, т. е.

(1.4)

где Q — подведенная к рабочему телу теплота;

А — коэффициент пропорциональности;

L — работа, произведенная рабочим телом в результате подвода теплоты;

U₁ — внутренняя энергия рабочего тела в начале подвода теплоты;

U₂ — внутренняя энергия рабочего тела в конце подвода теплоты.

В 1843—1860 гг. английский физик Джоуль провел опыт по установлению соотношения между работой, затраченной при выделении теплоты и количеством выделенной теплоты. Ему удалось вычислить величину A = 0,002345 ккал (кгс • м), которая называется тепловым эквивалентом работы. Также он вычислил и механический эквивалент теплоты I:

В настоящее время для измерения количества теплоты и работы используются различные единицы, соотношения между которыми приведены в табл. 1.

В дальнейшем для упрощения в термодинамических уравнениях коэффициенты А и I будут опускаться, а работа и теплота будут выражаться в одинаковых единицах.

Таблица 1. Соотношения между единицами измерения теплоты и работы

Единица	Дж	энг	кгс•м	ккал	кВт•ч
Дж	-	107	0,101972	2,4•10-4	2,7778•10-7
эрг	10-7	-	10,1972•10-9	24•10-12	27,778•10-15
кгс•м	9,80665	98,0665•106	-	2,3•10-3	2,7207•10-6
ккал	4186,8	41,868•109	426,935	-	1,163•10-3
кВт•ч	3,6•106	36•1012	367 098	859,862	-

Для рабочего тела массой 1 кг уравнение первого закона термо­динамики примет вид:

где q — удельная теплота, подводимая к рабочему телу или отводимая от него;

l — удельная работа изменения объема рабочего тела;

u₁ и u₂ — удельная внутренняя энергия в начале и конце подвода теплоты соответственно.

В термодинамике принято следующее:

• теплоту Q считать положительной, если она подводится к газу и отрицательной, если она отводится;

• изменение внутренней энергии ∆U считать положительным, если температура газа растет, и отрицательным, если она падает;

• работу L считать положительной, если газ расширяется и от­рицательной, если газ сжимается под действием внешних сил.

Внутренняя энергия

Внутренняя энергия состоит из внутренней кинетической и внутренней потенциальной энергий. Первая — результат хаотического движения частиц тела, с увеличением скорости которых возрастает и внутренняя кинетическая энергия.

Так как температура тела определяется скоростью движения его частиц (молекул), то увеличение температуры тела означает увеличение его внутренней кинетической энергии.

Внутренняя потенциальная энергия связана с силами взаимо­действия между частицами вещества.

Изменение удельной внутренней энергии в процессе подвода или отвода теплоты может быть выражено уравнением

где ∆u_к — изменение кинетической энергии газа,

∆u_п — изменение потенциальной энергии газа.

Так как силы взаимодействия между молекулами идеального газа отсутствуют, то и его потенциальная энергия равна нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры.

Поскольку температура идеального газа определяется внутренней кинетической энергией, а температура тела является параметром его состояния, то и внутренняя энергия является параметром его состояния.

Если в результате подвода теплоты рабочее тело переходит из первого состояния во второе, то подводимая теплота q_1,2 будет равна u₂-u₁.

На основании формулы (3) можно записать

Обратимые и необратимые процессы

Термодинамическим процессом называется последовательное изменение состояния рабочего тела, при котором параметры его состояния (все или некоторые) изменяются, а масса рабочего тела, совершающего процесс, остается неизменной.

В термодинамике широко используется диаграмма, в которой по оси абсцисс откладываются значения удельных объемов v, а по оси ординат — значения давлений р.

По координатам р и v можно определить состояние рабочего тела.

Если тело перешло из состояния 1 в состояние 2 через ряд состояний а, b, с и др., то это означает, что тело совершило термодинамический процесс. Проведя через эти точки кривую, получим линию процесса на р—v диаграмме (рис. 3).

Рис. 3. р—v диаграмма

При изменении своего состояния газ совершает работу против внешних сил (процесс расширения) или воспринимает работу этих внешних сил (процесс сжатия).

Если подводить к газу теплоту, то поршень (рис. 4) в результате расширения газа переместится слева направо, и газ совершит работу при постоянном давлении:

где р — постоянное давление газа;

F — площадь поршня;

S — ход поршня,

v₁, v₂ — начальный и конечный объемы газа.

Рис. 4. Работа расширения газа: а — при р = const; б — при переменном давлении, ∆L = Σp ∆v

В p—v диаграмме эта работа изображается площадью заштрихо­ванного прямоугольника.

Если рассмотреть произвольный процесс, то очевидно элементарную работу расширения ∆L можно подсчитать как площадь элементарного прямоугольника с основанием ∆v и высотой р, а вся работа будет равна сумме площадей таких прямоугольников.

Таким образом, работа расширения газа будет равна площади, ограниченной сверху кривой процесса, снизу — осью абсцисс, а слева и справа двумя крайними ординатами процесса, соответствующими начальному и конечному состояниям газа.

Работа не является только функцией состояния газа, так как она зависит и от характера процесса.

На рис. 5 показаны два различных процесса перехода газа из со­стояния 1 в состояние 2. Работы этих процессов не равны при одинаковых начальных и конечных состояниях газа: L₁ = s_m1а2п > L₂ = s_m1b2n (s — площадь).

Рис. 5. Два различных процесса расширения газа

Это свойство работы как функции процесса и позволило создать периодически действующие тепловые машины. В тепловом двигателе работа расширения всегда больше работы, затраченной на сжатие. Полученная таким образом разность работ (согласно первому закону термодинамики эквивалентна применяемой в двигателе теплоте) используется для различных целей.

Обратимыми называются процессы, в результате совершения которых в прямом и обратном направлениях термодинамическая система возвращается в исходное состояние.

В случае обратимых процессов обратный процесс представляет собой «зеркальное отображение» прямого процесса: если, например, в прямом процессе к системе подводится какое-то количество теплоты, то в обратном процессе от системы отводится точно такое же количество теплоты (рис. 6).

Рис. 1.6. p—v диаграмма обратимого процесса

Необратимым называется процесс, при котором система не возвращается в исходное состояние.

Все естественные самопроизвольные процессы необратимы. Обратимых процессов в природе не существует. Типичным примером необратимого процесса является процесс трения. Работа, затраченная на преодоление трения, превращается в теплоту.

Рабочее тело может произвести работу только при переходе из неравновесного состояния в равновесное. На рис. 7, а представлена схема перехода газа из неравновесного состояния в равновесное. Предварительно сжатый газ находится в цилиндре под застопоренным поршнем в неравновесном состоянии под давлением р₁. Давление окружающей среды р значительно меньше, чем давление газа. При удалении стопора G поршень начнет перемещаться вправо из-за разности давлений.

Рис. 7. Схема перехода газа из неравновесного состояния (а) в равновесное (б)

Поршень будет перемещаться только до тех пор, пока давление под поршнем не станет равно давлению окружающей среды (рис. 7, б), т. е. работа будет совершаться до тех пор, пока система не придет в состояние равновесия.

Изохорный процесс

Изохорными называются процессы, протекающие при постоянном объеме. К таким процессам относятся нагревание или охлаждение газа в сосуде постоянного объема: v = const.

На рис. 8 показана p—v диаграмма изохорного процесса.

Рис. 8. р—v диаграмма изохорного процесса

Переход газа из состояния 1 в состояние 2 сопровождается нагреванием газа, а переход из состояния 2 в состояние 1 — охлаждением. Направление процесса определяется по изменению давления: при нагревании газа давление растет, а при охлаждении — падает.

Для определения соотношения параметров напишем уравнения начального и конечного состояния газа при v = const:

Разделим почленно второе уравнение на первое, получим

(1.5)

Выражение (1.5) показывает, что в изохорном процессе давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре.

Изменение удельной внутренней энергии в изохорном процессе (как и во всех процессах) определяется по формуле

(1.6)

В процессе при постоянном объеме внешняя работа не совершается, т. е. удельная работа изменения равна нулю:

Тогда внешняя теплота равна изменению внутренней энергии, так как q₁,₂ = ∆u + Al₁,₂, но так как l₁,₂ = 0, то q₁,₂ = u₂ - u₁, или

Таким образом, в изохорном процессе вся подведенная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа.

Изобарный процесс

Изобарными процессами называются процессы, протекающие при постоянном давлении: р = const.

На рис. 9 показана p—v диаграмма изобарного процесса.

Рис. 9. p—v диаграмма изобарного процесса

Процесс расширения газа на диаграмме соответствует переходу из состояния 1 в состояние 2, а процесс сжатия — переходу из состояния 2 в состояние 1.

Для определения соотношения параметров напишем уравнение начального и конечного состояний газа при р = const:

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

(1.7)

Выражение (1.7) показывает, что в изобарном процессе объемы газа пропорциональны абсолютным температурам.

Изменение внутренней энергии, как известно, не зависит от вида процесса и поэтому для изобарного процесса определяется так же, как и для всех процессов:

Удельная работа газа в этом случае будет равна площади прямоугольника, основанием которого служит отрезок абсциссы v₂—v₁, а высотой — отрезок ординаты р:

(1.8)

Уравнение работы изменения объема идеального газа в изобарном процессе можно представить и в другом виде, написав для этого два уравнения состояния газа (одно для конечного состояния, другое — для начального):

Вычитая второе уравнение из первого, получим

(1.9)

Из уравнений (1.8) и (1.9) получим

(1.10)

Теплота, которая сообщается газу в изобарном процессе, на основании первого закона термодинамики может быть найдена по формуле

или по общей формуле

Изотермический процесс

Изотермическим процессом называется процесс, протекающий при постоянной температуре: Т= const.

На рис. 10 показана диаграмма изотермического процесса. Процесс расширения газа на диаграмме соответствует переходу из состояния 1 в состояние 2, процесс сжатия — переходу из состояния 2 в состояние 1.

Поскольку в изотермическом процессе Т = const, то уравнение состояния газа pv = RT= const.

Р ис. 10. р— v диаграмма изотермического процесса

В изотермическом процессе в соответствии с законом Бойля—Мариотта справедливо следующее соотношение:

(1.11)

или

Соотношение (1.11) показывает, что в изотермическом процессе объемы при различных состояниях газа обратно пропорциональны давлениям, соответствующим этим состояниям.

При вычислении внутренней энергии, используя общую формулу (1.6), получим

так как

Следовательно, в изотермическом процессе изменение внутренней энергии равно нулю, т. е. внутренняя энергия в течение всего процесса остается постоянной.

Удельная работа изменения объема в изотермическом процессе определяется уравнением

или

(1.12)

На основании первого закона термодинамики

а так как u₂ - u₁ = 0, то

Таким образом, в изотермическом процессе расширения вся подведенная теплота расходуется на внешнюю работу, а при изотермическом процессе сжатия внешняя работа полностью превращается в теплоту.

Адиабатный процесс

Адиабатным процессом называют процесс, протекающий без подвода и отвода теплоты:

(1.13)

где k — показатель адиабаты — величина, равная отношению удельной изобарной теплоемкости к удельной изохорной теплоемкости:

Для идеальных газов k есть величина постоянная, зависящая от природы газа, т. е. от числа атомов в молекуле газа. В табл. 2 приведены значения теплоемкостей с_р и с_v согласно молекулярно-кинетической теории.

Таблица 2. Значения удельной изобарной и удельной изохорной теплоемкостей и показателя адиабаты в зависимости от числа атомов в молекуле

Число атомов	сv	ср	k = ср / сv
1	2,98	4,36	1,67
2	4,97	6,97	1,4
3	5,96	7,96	1,53

Протекание адиабатного процесса без теплообмена с окружающей средой может осуществляться в цилиндре, который имеет идеально теплоизолированные стенки. Однако в природе не существует такой изоляции. Поэтому адиабатный процесс есть идеальный процесс и на практике осуществить его невозможно. Реально можно получить процесс с некоторым приближением к идеальному адиабатному процессу. Например, если процессы протекают очень быстро, т. е. в такое короткое время, что газ не успевает принять или передать теплоту стенкам цилиндра.

На рис. 11 представлена р—v диаграмма адиабатного процесса.

Рис. 11. р— v диаграмма адиабатного процесса

Кривая адиабатного процесса называется адиабатой. Она представляет собой неравнобокую гиперболу.

Зависимость между давлением и объемом для двух точек адиабатного процесса имеет вид

(1.14)

При сравнении формулы (1.14) с формулой (1.13) видно, что при адиабатном расширении газа давление уменьшается интенсивнее, чем при расширении в изотермическом процессе, отсюда следует, что р—v диаграмма адиабаты круче p—v диаграммы изотермы.

Для начального и конечного состояний газа в адиабатном процессе

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

Или

Подставив это выражение в формулу (12), получим

(1.15)

Из уравнения (1.14) следует, что

а из уравнения (1.15)

Следовательно,

или

(1.16)

Изменение внутренней энергии определяется формулой

На основании первого закона термодинамики

Так как процесс адиабатный, то

следовательно,

откуда

Учитывая, что А — величина постоянная, можно сделать вывод о том, что удельная работа в адиабатном процессе получается только за счет изменения внутренней энергии рабочего тела.

Политропный процесс

Политропным процессом называют процесс, в котором могут изме­няться одновременно все параметры газа (р, v, Т), и между газом и окружающей средой осуществляется теплообмен.

Процессы в тепловых машинах, как правило, являются политропными.

Уравнение политропного процесса:

(1.17)

где n — показатель политропы.

Если выразить теплоемкость газа в политропном процессе через c_n, то показатель n будет иметь вид

Учитывая, что с_р/с_v = k, получим

откуда

Количество теплоты определяется из уравнения первого закона термодинамики

или из уравнения (3):

(1.18)

Учитывая уравнения (1.13)—(1.17) для политропного процесса можно написать

(1.19)

(1.20)

(1.21)

Уравнение политропного процесса является общим для всех основных рассматриваемых процессов. Так уравнения изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов можно получить из уравнения политропного процесса, если показателю политропы n давать соответствующие значения. Например, если n = ±∞, то уравнение (1.17) примет вид v = const, что соответствует изохорному процессу, если п = 0, то vⁿ = v⁰ = 1, и уравнение (1.17) примет вид р = const, что соответствует изобарному процессу, если п = 1, то уравнение политропного процесса преобразуется в уравнение адиабатного процесса pv^k = const. Таким образом:

• для изохорного процесса n = ±∞,

• для изобарного процесса п = 0,

• для изотермического процесса п = 1,

• для адиабатного процесса п = k.

Кроме перечисленных процессов, являющимися частными случаями политропного процесса, уравнение (1.17) может выражать бесконечное число процессов, в каждом из которых показатель п будет иметь свое определенное значение, находящееся в пределе от -∞ до +∞.