Свойства гомоморфизмов
10. Для любого гомоморфизма полугрупп h : (A, ) (B, ) верно a1 , … , an A h(a1 … an ) = h(a1) … h(an ).
Индукция по n. База индукции очевидна при n = 1, и обеспечивается при n = 2 сохранением операции h(a1a2 ) = h(a1)h(a2).
Если свойство уже доказано для n = 1, 2, … , k N, то при n = k+1 имеем h(a1 … an)= = h((a1…ak)an) = h(a1…ak)h(an) = h(a1) … h(ak )h(an), что и требовалось.
20. Для любого гомоморфизма колец h : (K, +, ) (R, , ) верны свойства
a1 , … , an K h(a1+ … +an ) = h(a1) … h(an ),
a1 , … , an K h(a1 … an ) = h(a1) … h(an ),
Это следует из 10: h : (K, + ) (R, ) и h : (K, ) (R, ) – гомоморфизмы полугрупп.
30. Для любого гомоморфизма полугрупп h : (A, ) (B, ) образ Im(h) замкнут относительно операции , т.е. (Im(h), ) (B, ).
В самом деле, если c, d Im(h), то a, b A h(a) = c h(b) = d. Поэтому cd = = h(a)h(b) = h(ab), т.е. cd = h(ab), cd Im(h).
40. Любой гомоморфизм групп h : (A, ) (B, ) отображает единицу eA группы A в единицу eB группы B.
Действительно, h(eA)eB = h(eA) = h(eAeA) = h(eA)h(eA), т.е. h(eA)eB = h(eA)h(eA). Сокращая слева на h(eA) в группе B, получим eB = h(eA), что и требовалось.
50. Любой гомоморфизм колец h : (K, +, ) (R, , ) отображает ноль 0K кольца K в ноль 0B кольца R.
Это следует из 40, т.к. h : (K, + ) (R, ) – гомоморфизм абелевых групп.
60. Любой гомоморфизм групп h : (A, ) (B, ) отображает обратный элемент a –1 к элементу a A в обратный элемент h(a) –1 к элементу h(a) B, т.е. h(a –1) = h(a) –1.
В самом деле, h(a –1)h(a) = h(a –1a) = h(eA) = eB . Аналогично, h(a)h(a –1) = eB , т.е. h(a –1) удовлетворяет свойству обратного элемента к h(a), и значит, h(a –1) = h(a) –1.
70.
Для любого гомоморфизма колец h
: (K, +,
)
(R,
, ) верно
тождество
a
K h(–a)
=
h(a).
Это следует из 60, т.к. h : (K, + ) (R, ) – гомоморфизм абелевых групп.
80. Гомоморфизм групп h : (A, ) (B, ) инъективен тогда и только тогда, когда a A h(a) = eB a = eA .
Действительно, если h инъ и h(a) = eB = h(eA), то a = eA .
Обратно, если выполнено a A h(a) = eB a = eA и h(a) = h(b), то h(ab –1) = = h(a)h(b –1) = h(a)h(b)–1 = eB , и значит, ab –1 = eA . Умножая на b справа, получим a = = ab –1b = eAb = b, т.е. a = b, что и требовалось.
90. Гомоморфизм колец h : (K, +, ) (R, , ) инъективен тогда и только тогда, когда a K h(a) = 0R a = 0K .
Это следует из 80, т.к. h : (K, +, ) (R, , ) инъ тогда и только тогда, когда гомоморфизм абелевых групп h : (K, + ) (R, ) будет инъ.
100. Для любого гомоморфизма групп h : (A, ) (B, ) образ Im(h) является подгруппой в B, т.е. (Im(h), ) (B, ).
В самом деле, свойство 30 гарантирует, что (Im(h), ) – подполугруппа в (B, ), т.е. свойство (A) выполнено для (Im(h), ).
Далее, полугруппа (Im(h), ) обладает единицей eB Im(h) по свойству 40, т.е. выполнено условие (Н).
Наконец, каждый элемент h(a) полугруппы (Im(h), ) имеет обратный h(a –1) Im(h) по свойству 60, что означает выполнение свойства (О).
Итак, все условия для того, чтобы алгебра (Im(h), ) была группой, проверены.
110. Для любого гомоморфизма колец h : (K, +, ) (R, , ) образ Im(h) является подкольцом в (R, , ), т.е. (Im(h), , ) (R, , ).
Cледует из 100: (Im(h), , ) (R, , ) (Im(h), ) (R, ) (Im(h), ) (R, ).
120. Если h : (F, +, ) (R, , ) – гомоморфизм колец и (F, +, ) – поле, то либо Im(h) = {0R}, либо h – моно и (Im(h), , ) – поле.
Действительно, пусть Im(h) {0R}. Тогда по 110 (Im(h), , ) (R, , ). При этом кольцо Im(h) коммутативно: a, b F h(a) h(b) = h(ab) = h(ba) = h(b) h(a), это кольцо с единицей h(1F) и каждый его ненулевой элемент h(a) Im(h) имеет обратный h(a –1) Im(h). Условие нетривиальности (10) тоже выполнено: если h(1F) = h(0F) = 0R , то a F h(a) = h(a1F) = h(a) h(1F) = h(a) 0R = 0R , т.е. a F h(a) = 0R и Im(h) = {0R} вопреки предположению. Таким образом, (Im(h), , ) – поле.
Если h не моно, то по 90 a F \ {0} h(a) = 0R и h(1F) = h(aa –1) = h(a) h(a –1) = = 0R h(a –1) = 0R , что ведёт к противоречию (см. предыдущий абзац).
Восстановите все пропущенные детали в этом доказательстве !!!