§ 3. Кольца и поля

Пусть теперь (K, +,  ) – алгебра с двумя бинарными алгебраическими операциями сложения + и умножения  . Она называется кольцом, если выполнены следующие свойства:

I. Свойства сложения + :

(А+):  a, b, c  A (a+b)+c = a+(b+c),

(К+):  a, b  K a+b = b+a,

(Н+):  0  A  a  A a+0 = a = 0+a,

(О+):  a  A  –a  A a+(–a) = 0 = (–a)+a.

II. Свойства умножения  :

(А ):  a, b, c  A (ab)c = a(bc).

III. Свойства связи сложения и умножения:

(Д+  ):  a, b, c  K (a+b)c = ac+bc,

 a, b, c  K a(b+c) = ab+ac.

Только последние два свойства (из группы III) не формулировались ранее абстрактно. Они называются законами дистрибутивности. Тем не менее, все эти законы известны из школы: обычные числа (целые, рациональные и действительные) подчиняются всем этим свойствам.

Группа I свойств кольца показывает, что (K, +) – абелева группа. Она называется аддитивной группой кольца K. Группа II свойств кольца показывает, что (K,  ) – полугруппа.

Если умножение в кольце (K, +,  ) коммутативно, т.е. выполнено свойство

(К):  a, b  K ab = ba,

то кольцо называется коммутативным.

Если в кольце (K, +,  ) существует единица относительно умножения, т.е. выполнено свойство

(Н):  1  K  a  K a1 = a = 1a,

то говорят, что (K, +,  ) – кольцо с единицей.

Для коммутативного кольца (K, +,  ) с единицей полугруппа (K,  ) является коммутативным моноидом.

Примеры: 1. (Z, +,  )  (Q , +,  )  (R , +,  ) – цепочка коммутативных колец с единицами.

2. (N, +,  ) – не кольцо, т.к. (N, +) – не абелева группа.

3. (Z₃ , +, ) – коммутативное кольцо с единицей.

Коммутативное кольцо с единицей (F, +,  ) называется полем, если дополнительно выполнены следующие свойства обратимости ненулевых элементов и нетривиальности:

(О):  a  F \ { }  b  F ab = 1 = ba,

(10): 1  0.

Свойство нетривиальности (10) продиктовано желанием не считать нулевое кольцо (см. определение в примерах, приведённых ранее) полем. Нетрудно проверить, что все свойства поля, кроме свойства нетривиальности, для нулевого кольца выполнены.

Нетрудно понять, что для поля (F, +,  ) коммутативный моноид (F \ {0},  ) является группой, которая называется мультипликативной группой поля F и обозначается обычно через F^ .

Примеры: 1. (Q , +,  )  (R , +,  ) – цепочка полей.

2. (Z, +,  ) – не поле, т.к. не выполнено условие обратимости ненулевых элементов.

3. (Z₃ , +,  ) – поле, называемое полем вычетов по модулю 3. Оно играет важную роль в теории чисел.

4. Пусть Z₂ = { , }. Определим на Z₂ бинарные алгебраические операции +,  с помощью таблиц:

+				

Оказывается, что (Z₂ , +,  ) – поле, называемое полем вычетов по модулю 2. Ни одно поле не имеет меньшего, чем Z₂ , количества элементов.

5. Аналогично предыдущему примеру можно определить поле вычетов по простому модулю p. Подумайте, как это можно сделать ?